สมการผลต่างกับสมการเชิงอนุพันธ์
ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติสามารถอธิบายได้ทางคณิตศาสตร์โดยฟังก์ชันของตัวแปรและพารามิเตอร์อิสระจำนวนหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแสดงโดยฟังก์ชันของตำแหน่งเชิงพื้นที่และเวลาจะส่งผลให้เกิดสมการ ฟังก์ชันอาจเปลี่ยนแปลงไปตามการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระหรือพารามิเตอร์ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่เกิดขึ้นในฟังก์ชันเมื่อตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเปลี่ยนแปลงเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น
สมการอนุพันธ์คือสมการใดๆ ที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันและฟังก์ชันด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่ายคือกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน ถ้าวัตถุมวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 'a' และถูกกระทำด้วยแรง F กฎข้อที่สองของนิวตันจะบอกเราว่า F=ma อีกครั้งที่ 'a' นั้นแปรผันตามเวลา เราสามารถเขียน 'a' ใหม่เป็น; a=dv/dt; v คือความเร็ว ความเร็วเป็นหน้าที่ของพื้นที่และเวลา นั่นคือ v=ds/dt; ดังนั้น ‘a’=d2s/dt2
จำไว้เสมอว่าเราสามารถเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันใหม่เป็นสมการอนุพันธ์ได้
‘F’ เป็นฟังก์ชันของ v และ t – F(v, t)=mdv/dt หรือ
'F' ตามฟังก์ชันของ s และ t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
สมการอนุพันธ์มีสองประเภท สมการอนุพันธ์สามัญ ย่อด้วย ODE หรือสมการอนุพันธ์ย่อย ย่อด้วย PDE สมการอนุพันธ์สามัญจะมีอนุพันธ์สามัญ (อนุพันธ์ของตัวแปรเพียงตัวเดียว) อยู่ในนั้น สมการอนุพันธ์ย่อยบางส่วนจะมีอนุพันธ์อนุพันธ์ (อนุพันธ์ของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว) อยู่ในนั้น
เช่น F=m d2s/dt2 เป็น ODE ในขณะที่ α2 d 2u/dx2=du/dt เป็น PDE มันมีอนุพันธ์ของ t และ x
สมการผลต่างเหมือนกับสมการเชิงอนุพันธ์ แต่เรามองมันในบริบทที่ต่างกัน ในสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวแปรอิสระเช่นเวลาจะถูกพิจารณาในบริบทของระบบเวลาต่อเนื่อง ในระบบเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง เราเรียกฟังก์ชันว่าเป็นสมการผลต่าง
สมการผลต่างเป็นฟังก์ชันของความแตกต่าง ความแตกต่างในตัวแปรอิสระมีสามประเภท ลำดับของตัวเลข ระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง และฟังก์ชันการวนซ้ำ
ในลำดับของตัวเลข การเปลี่ยนแปลงจะถูกสร้างขึ้นซ้ำๆ โดยใช้กฎเพื่อเชื่อมโยงแต่ละหมายเลขในลำดับกับตัวเลขก่อนหน้าในลำดับ
สมการผลต่างในระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องใช้สัญญาณอินพุตที่ไม่ต่อเนื่องและสร้างสัญญาณเอาต์พุต
สมการผลต่างคือแผนที่วนซ้ำสำหรับฟังก์ชันวนซ้ำเช่น y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))) ….เป็นลำดับของฟังก์ชันที่วนซ้ำ f(y0) เป็นการวนซ้ำครั้งแรกของ y0 การวนซ้ำครั้งที่ k จะแสดงด้วย fk (y0).