เมทริกซ์กับดีเทอร์มิแนนต์
เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์เป็นแนวคิดที่สำคัญคือพีชคณิตเชิงเส้น โดยเมทริกซ์จะให้วิธีที่กระชับในการแทนสมการเชิงเส้นขนาดใหญ่และการรวมกัน ในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์มีความเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์บางประเภทโดยเฉพาะ
เพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์
เมทริกซ์คืออาร์เรย์สี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ตัวเลขถูกจัดเรียงเป็นแถวและคอลัมน์ จำนวนคอลัมน์และแถวในเมทริกซ์กำหนดขนาดของเมทริกซ์ โดยทั่วไป เมทริกซ์จะถูกแทนด้วยวงเล็บเหลี่ยม และตัวเลขจะเรียงกันเป็นแถวและคอลัมน์ด้านใน
A เรียกว่าเมทริกซ์ 3×3 เพราะมี 3 คอลัมน์ 3 แถว ตัวเลขที่แสดงโดย a_ij เรียกว่าองค์ประกอบและระบุด้วยหมายเลขแถวและหมายเลขคอลัมน์โดยไม่ซ้ำกัน นอกจากนี้ เมทริกซ์ยังสามารถแสดงเป็น [a_ij]_(3×3) แต่การใช้งานมีจำกัดเนื่องจากไม่ได้ระบุองค์ประกอบอย่างชัดเจน การขยายตัวอย่างข้างต้นเป็นกรณีทั่วไป เราสามารถกำหนดเมทริกซ์ทั่วไปขนาด m×n;
A มี m แถวและ n คอลัมน์
เมทริกซ์ถูกจัดหมวดหมู่ตามคุณสมบัติพิเศษของพวกมัน ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันเรียกว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส และเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเรียกว่าเวกเตอร์
การดำเนินการกับเมทริกซ์ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ให้ปฏิบัติตามกฎในพีชคณิตนามธรรม ดังนั้นการบวก การลบ และการคูณระหว่างเมทริกซ์จึงดำเนินการกับองค์ประกอบอย่างชาญฉลาด สำหรับเมทริกซ์ การหารไม่ได้ถูกกำหนดแม้ว่าจะมีอินเวอร์สอยู่
เมทริกซ์คือการแสดงชุดของตัวเลขที่กระชับ และสามารถใช้แก้สมการเชิงเส้นได้อย่างง่ายดาย เมทริกซ์ยังมีการใช้งานอย่างกว้างขวางในด้านพีชคณิตเชิงเส้น เกี่ยวกับการแปลงเชิงเส้น
เพิ่มเติมเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์
ดีเทอร์มีแนนต์เป็นตัวเลขเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละอัน และได้รับหลังจากทำการคำนวณบางอย่างสำหรับองค์ประกอบในเมทริกซ์ ในทางปฏิบัติ ดีเทอร์มีแนนต์แสดงโดยใส่เครื่องหมายโมดูลัสสำหรับองค์ประกอบในเมทริกซ์ ดังนั้นดีเทอร์มีแนนต์ของ A จึงถูกกำหนดโดย;
และโดยทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ m×n
การดำเนินการเพื่อให้ได้ดีเทอร์มีแนนต์มีดังต่อไปนี้
|A|=∑j=1 aj Cij โดยที่ C ij เป็นปัจจัยร่วมของเมทริกซ์ที่กำหนดโดย Cij =(-1)i+j M j.
ดีเทอร์มีแนนต์เป็นปัจจัยสำคัญที่กำหนดคุณสมบัติของเมทริกซ์ หากดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์สำหรับเมทริกซ์บางตัว จะไม่มีอินเวอร์สของเมทริกซ์
เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ต่างกันอย่างไร
• เมทริกซ์คือกลุ่มของตัวเลข และดีเทอร์มีแนนต์คือจำนวนเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์นั้น
• ดีเทอร์มีแนนต์หาได้จากเมทริกซ์กำลังสอง แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน ดีเทอร์มีแนนต์ไม่สามารถให้เมทริกซ์เฉพาะที่เชื่อมโยงกับมันได้
• พีชคณิตเกี่ยวกับเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์มีความเหมือนและแตกต่าง โดยเฉพาะเมื่อทำการคูณ ตัวอย่างเช่น การคูณเมทริกซ์ต้องทำอย่างชาญฉลาดองค์ประกอบ โดยดีเทอร์มีแนนต์เป็นตัวเลขเดี่ยวและตามหลังการคูณอย่างง่าย
• ดีเทอร์มิแนนต์ใช้ในการคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์ และถ้าดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ ค่าผกผันของเมทริกซ์จะไม่มีอยู่จริง