ความแตกต่างระหว่างการผสานรวมและการรวม

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

การบูรณาการเทียบกับการรวม

ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย การบูรณาการและการบวกมักพบในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ดูเหมือนว่าจะถูกใช้เป็นเครื่องมือที่แตกต่างกันและในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน แต่มีความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดกันมาก

เพิ่มเติมเกี่ยวกับผลรวม

ผลรวมคือการดำเนินการของการเพิ่มลำดับของตัวเลขและการดำเนินการมักจะแสดงด้วยอักษรกรีกของซิกมาพิมพ์ใหญ่ Σ ใช้เพื่อย่อผลรวมและเท่ากับผลรวม/ผลรวมของลำดับ มักใช้เพื่อแสดงลำดับ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นลำดับอนันต์โดยสรุปนอกจากนี้ยังใช้เพื่อระบุผลรวมของเวกเตอร์ เมทริกซ์ หรือพหุนามได้อีกด้วย

ผลรวมมักจะทำกับช่วงของค่าที่สามารถแทนด้วยคำทั่วไปได้ เช่น อนุกรมที่มีพจน์ทั่วไป จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการบวกเรียกว่าขอบล่างและขอบบนของผลบวกตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ผลรวมของลำดับ a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n is a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n ซึ่งสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายโดยใช้เครื่องหมายรวมเป็น ∑ _i=1 a_{i; ฉันถูกเรียกว่าดัชนีผลรวม}

ผลรวมหลายรูปแบบใช้สำหรับผลรวมตามแอปพลิเคชัน ในบางกรณี ขอบเขตบนและขอบเขตล่างสามารถกำหนดเป็นช่วงหรือช่วงได้ เช่น ∑_1≤i≤100 a_i และ ∑_{i∈[1, 100]} a_i หรือจะให้เป็นชุดตัวเลข เช่น ∑_i∈P a_{i โดยที่ P คือเซตที่กำหนดไว้}

ในบางกรณี เครื่องหมายซิกมาสองอันขึ้นไปสามารถใช้ได้ แต่สามารถสรุปได้ดังนี้ ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

นอกจากนี้ ผลรวมเป็นไปตามกฎพีชคณิตหลายข้อ เนื่องจากการดำเนินการแบบฝังเป็นส่วนเพิ่มเติม กฎทั่วไปหลายข้อของพีชคณิตจึงสามารถนำไปใช้กับผลรวมและสำหรับแต่ละเงื่อนไขที่แสดงโดยการบวก

เพิ่มเติมเกี่ยวกับการบูรณาการ

การบูรณาการถูกกำหนดให้เป็นกระบวนการย้อนกลับของการสร้างความแตกต่าง แต่ในมุมมองทางเรขาคณิต ก็ถือได้ว่าเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งของฟังก์ชันและแกน ดังนั้น การคำนวณพื้นที่จะให้ค่าอินทิกรัลที่แน่นอนตามที่แสดงในแผนภาพ

ที่มาของภาพ:

มูลค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนคือผลรวมของแถบเล็กๆ ภายในเส้นโค้งและแกน พื้นที่ของแต่ละแถบคือความสูง×ความกว้างที่จุดบนแกนที่พิจารณา ความกว้างคือค่าที่เราเลือกได้ เช่น ∆x และความสูงประมาณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่พิจารณา เช่น f (x_{i) จากแผนภาพ จะเห็นได้ชัดเจนว่ายิ่งแถบที่เล็กกว่าย่อมดีกว่า แถบนั้นจึงพอดีกับพื้นที่ที่มีขอบเขต ดังนั้นจึงเป็นการประมาณค่าที่ดีขึ้น}

ดังนั้น โดยทั่วไปอินทิกรัลที่แน่นอน I, ระหว่างจุด a และ b (เช่น ในช่วง [a, b] โดยที่ a<b) สามารถกำหนดได้เป็น I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x โดยที่ n คือจำนวนแถบ (n=(b-a)/∆x). การรวมพื้นที่นี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายโดยใช้เครื่องหมายบวกดัง I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x.เนื่องจากการประมาณจะดีกว่าเมื่อ ∆x น้อยกว่า เราจึงสามารถคำนวณค่าได้เมื่อ ∆x→0 ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะพูดว่า I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

จากแนวคิดข้างต้น เราสามารถเลือก ∆x ตามช่วงเวลาที่พิจารณาซึ่งจัดทำดัชนีโดย i (การเลือกความกว้างของพื้นที่ตามตำแหน่ง) แล้วเราจะได้

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

นี้เรียกว่าอินทิกรัลเรย์มันน์ของฟังก์ชัน f (x) ในช่วง [a, b] ในกรณีนี้ a และ b เรียกว่าขอบบนและขอบล่างของอินทิกรัล อินทิกรัล Reimann เป็นรูปแบบพื้นฐานของวิธีการรวมทั้งหมด

โดยพื้นฐานแล้ว การรวมเข้าด้วยกันคือผลรวมของพื้นที่เมื่อความกว้างของสี่เหลี่ยมมีน้อยมาก

การผสานรวมและการรวมต่างกันอย่างไร

• ผลรวมคือการบวกลำดับของตัวเลข โดยปกติ ผลรวมจะได้รับในรูปแบบนี้ ∑i=1 _ai _{เมื่อเงื่อนไขในลำดับ มีรูปแบบและสามารถแสดงโดยใช้คำทั่วไป}

• การบูรณาการนั้นเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งของฟังก์ชัน แกน และขีดจำกัดบนและล่าง พื้นที่นี้สามารถให้เป็นผลรวมของพื้นที่ขนาดเล็กกว่ามากที่รวมอยู่ในพื้นที่ขอบเขต

• การรวมเกี่ยวข้องกับค่าที่ไม่ต่อเนื่องที่มีขอบเขตบนและล่าง ในขณะที่การรวมเกี่ยวข้องกับค่าที่ต่อเนื่อง

• การบูรณาการสามารถตีความได้ว่าเป็นรูปแบบการรวมพิเศษ

• ในวิธีการคำนวณเชิงตัวเลข การรวมจะดำเนินการเป็นผลรวมเสมอ