ตัวแปรสุ่มกับการแจกแจงความน่าจะเป็น
การทดลองทางสถิติคือการทดลองแบบสุ่มที่สามารถทำซ้ำได้โดยไม่มีกำหนดพร้อมกับชุดผลลัพธ์ที่ทราบ ทั้งตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการทดลองดังกล่าว สำหรับตัวแปรสุ่มแต่ละตัว มีการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
ตัวแปรสุ่มคืออะไร
ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่กำหนดค่าตัวเลขให้กับผลลัพธ์ของการทดลองทางสถิติ กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดจากพื้นที่ตัวอย่างของการทดลองทางสถิติเป็นเซตของจำนวนจริง
ตัวอย่างเช่น ลองสุ่มการพลิกเหรียญสองครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ HH, HT, TH และ TT (H – หัว, T – นิทาน) ให้ตัวแปร X เป็นจำนวนหัวที่สังเกตได้ในการทดลอง จากนั้น X สามารถรับค่า 0, 1 หรือ 2 และมันเป็นตัวแปรสุ่ม ที่นี่ตัวแปรสุ่ม X จะจับคู่ชุด S={HH, HT, TH, TT} (พื้นที่ตัวอย่าง) กับชุด {0, 1, 2} ในลักษณะที่ HH ถูกจับคู่กับ 2, HT และ TH ถูกจับคู่กับ 1 และ TT ถูกจับคู่กับ 0 ในสัญกรณ์ฟังก์ชัน สามารถเขียนเป็น X: S → R โดยที่ X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 และ X(TT)=0.
ตัวแปรสุ่มมีสองประเภท: แบบแยกส่วนและแบบต่อเนื่อง ดังนั้นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ที่ตัวแปรสุ่มสามารถสันนิษฐานได้ว่าสามารถนับได้มากที่สุดหรือไม่ ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเนื่องจาก {0, 1, 2} เป็นเซตจำกัด ตอนนี้ ให้พิจารณาการทดลองทางสถิติในการหาน้ำหนักของนักเรียนในชั้นเรียน ให้ Y เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดเป็นน้ำหนักของนักเรียนY สามารถรับค่าจริงใดๆ ก็ได้ภายในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้น Y เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
การแจกแจงความน่าจะเป็นคืออะไร
การกระจายความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันที่อธิบายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ใช้ค่าบางอย่าง
ฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (F) สามารถกำหนดจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริงเป็น F(x)=P(X ≤ x) (ความน่าจะเป็นของ X น้อยกว่าหรือ เท่ากับ x) สำหรับแต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ x ตอนนี้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของ X ในตัวอย่างแรกสามารถเขียนเป็น F(a)=0 ถ้า a<0; F(a)=0.25 ถ้า 0≤a<1; F(a)=0.75 ถ้า 1≤a<2 และ F(a)=1 ถ้า a≥2.
ในกรณีตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สามารถกำหนดฟังก์ชันจากเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ไปจนถึงเซตของจำนวนจริงในลักษณะที่ ƒ(x)=P(X=x) (ความน่าจะเป็นของ X เท่ากับ x) สำหรับแต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ x ฟังก์ชันเฉพาะ ƒ นี้เรียกว่าฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Xตอนนี้ ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของ X ในตัวอย่างแรกโดยเฉพาะสามารถเขียนได้เป็น ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 และ ƒ(x)=0 มิฉะนั้น ดังนั้น ฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็นพร้อมกับฟังก์ชันการแจกแจงสะสมจะอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X ในตัวอย่างแรก
ในกรณีของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ƒ) สามารถกำหนดเป็น ƒ(x)=dF(x)/dx สำหรับแต่ละ x โดยที่ F คือฟังก์ชันการกระจายสะสมของ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันนี้ตรงตาม ∫ƒ(x)dx=1 ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นพร้อมกับฟังก์ชันการแจกแจงสะสมอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น การแจกแจงแบบปกติ (ซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง) อธิบายโดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
ความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นคืออะไร
• ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่เชื่อมโยงค่าของช่องว่างตัวอย่างกับจำนวนจริง
• การแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันที่เชื่อมโยงค่าที่ตัวแปรสุ่มสามารถนำไปใช้กับความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นตามลำดับ