ผลต่างเทียบกับอนุพันธ์
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ อนุพันธ์และดิฟเฟอเรนติเอชันมีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด แต่แตกต่างกันมาก และใช้เพื่อแสดงถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญสองประการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน
อนุพันธ์คืออะไร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันวัดอัตราที่ค่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเมื่ออินพุตเปลี่ยนแปลง ในฟังก์ชันหลายตัวแปร การเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงค่าของตัวแปรอิสระ ดังนั้น ในกรณีเช่นนี้ ทิศทางเฉพาะจะถูกเลือกและฟังก์ชันจะแตกต่างไปในทิศทางนั้นอนุพันธ์นั้นเรียกว่าอนุพันธ์เชิงทิศทาง อนุพันธ์บางส่วนเป็นอนุพันธ์แบบทิศทางพิเศษ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ f สามารถกำหนดเป็นขีดจำกัด [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] ไม่ว่ามันจะอยู่ที่ไหนก็ตาม ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ สิ่งนี้ทำให้เรามีอัตราการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f ตามทิศทางของเวกเตอร์ u ในกรณีของฟังก์ชันค่าเดียว ค่านี้จะลดเหลือคำจำกัดความที่รู้จักกันดีของอนุพันธ์ [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
ตัวอย่างเช่น [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ และอนุพันธ์จะเท่ากับขีดจำกัด [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex] ซึ่งก็คือ เท่ากับ [latex]3x^{2}+4[/latex] อนุพันธ์ของฟังก์ชันเช่น [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] มีอยู่ทุกที่ พวกมันจะเท่ากับฟังก์ชัน [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] ตามลำดับ
นี่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง โดยปกติอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน f จะแสดงด้วย f (1) ตอนนี้ใช้สัญกรณ์นี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดอนุพันธ์อันดับสูงกว่า [น้ำยาง]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] เป็นอนุพันธ์อันดับสองของทิศทาง และแสดงถึง n th derivative โดย f (n) สำหรับแต่ละ n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex] กำหนดอนุพันธ์ n th อนุพันธ์
ความแตกต่างคืออะไร
ดิฟเฟอเรนติเอชันเป็นกระบวนการในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล D-operator ที่แสดงโดย D แสดงถึงความแตกต่างในบางบริบท ถ้า x เป็นตัวแปรอิสระ แล้ว D ≡ d/dx D-operator เป็นโอเปอเรเตอร์เชิงเส้น นั่นคือ สำหรับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล 2 ฟังก์ชัน f และ g และค่าคงที่ c ตามหลังคุณสมบัติ
ผม. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
การใช้ตัวดำเนินการ D กฎอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างความแตกต่างสามารถแสดงได้ดังนี้ D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 และ D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
ตัวอย่างเช่น เมื่อ F(x)=x 2sin x แตกต่างกับ x โดยใช้กฎที่ให้มา คำตอบจะเป็น 2 x บาป x + x2cos x.
ความแตกต่างระหว่างความแตกต่างและอนุพันธ์คืออะไร• อนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน • ความแตกต่างคือกระบวนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน |