ทวินามกับการแจกแจงแบบปกติ
การกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มมีบทบาทสำคัญในด้านสถิติ จากการแจกแจงความน่าจะเป็นเหล่านั้น การแจกแจงทวินามและการแจกแจงแบบปกติเป็นสองแบบที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในชีวิตจริง
การแจกแจงทวินามคืออะไร
การแจกแจงแบบทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับตัวแปรสุ่ม X ซึ่งเป็นจำนวนความสำเร็จของลำดับที่จำกัดของการทดลองแบบใช่/ไม่ใช่แบบอิสระ ซึ่งแต่ละรายการมีความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ p จากนิยามของ X จะเห็นได้ชัดว่าเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นการแจกแจงทวินามก็ไม่ต่อเนื่องเช่นกัน
การแจกแจงจะแสดงเป็น X ~ B (n, p) โดยที่ n คือจำนวนการทดลองและ p คือความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จ ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น เราสามารถอนุมานได้ว่า B (n, p) เป็นไปตามฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. จากสมการนี้ สามารถอนุมานเพิ่มเติมได้ว่าค่าที่คาดหวังของ X, E(X)=np และความแปรปรวนของ X, V(X)=np (1- p).
ตัวอย่างเช่น ลองสุ่มโยนเหรียญ 3 ครั้ง กำหนดความสำเร็จเป็นการรับ H ความล้มเหลวในการรับ T และตัวแปรสุ่ม X เป็นจำนวนความสำเร็จในการทดลอง จากนั้น X ~ B (3, 0.5) และฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของ X ที่กำหนดโดย [latex] \binom{3}{k} 05^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้รับอย่างน้อย 2 H's คือ P(X ≥ 2)=P (X=2 หรือ X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
การแจกแจงแบบปกติคืออะไร
การแจกแจงแบบปกติคือการแจกแจงความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องที่กำหนดโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. พารามิเตอร์ [latex] \mu และ \\sigma [/latex] แสดงถึงค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่สนใจ เมื่อ [latex] \mu=0 และ \\sigma=1 [/latex] การแจกแจงจะเรียกว่าการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
การกระจายนี้เรียกว่าปกติเนื่องจากปรากฏการณ์ทางธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามการกระจายแบบปกติ ตัวอย่างเช่น โดยปกติ IQ ของประชากรมนุษย์จะกระจายตัวตามปกติเมื่อดูจากกราฟ กราฟจะไม่เท่ากัน สมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและรูประฆัง ค่าเฉลี่ย โหมด และค่ามัธยฐานมีความสอดคล้องกัน พื้นที่ใต้เส้นโค้งสอดคล้องกับส่วนของประชากรที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด
ส่วนของประชากรในช่วงเวลา [น้ำยาง] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] มีค่าประมาณ 68.2%, 95.6% และ 99.8% ตามลำดับ
การแจกแจงทวินามและการแจกแจงแบบปกติต่างกันอย่างไร
- การแจกแจงทวินามเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในขณะที่การแจกแจงแบบปกติเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่อง
- ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินามคือ [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex] ในขณะที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติคือ [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- การแจกแจงทวินามเป็นการประมาณการแจกแจงแบบปกติภายใต้เงื่อนไขบางประการแต่ไม่ใช่วิธีอื่น