สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเทียบกับไม่เชิงเส้น
สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์อนุพันธ์หรืออนุพันธ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งตัวเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์สามารถเป็นได้ทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ขอบเขตของบทความนี้คือการอธิบายว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นคืออะไร สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นคืออะไร และสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นกับไม่เชิงเส้นต่างกันอย่างไร
ตั้งแต่การพัฒนาแคลคูลัสในศตวรรษที่ 18 โดยนักคณิตศาสตร์เช่น Newton และ Leibnitz สมการอนุพันธ์ได้มีบทบาทสำคัญในเรื่องราวของคณิตศาสตร์สมการเชิงอนุพันธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์เนื่องจากมีการใช้งานที่หลากหลาย สมการเชิงอนุพันธ์คือหัวใจของทุกโมเดลที่เราพัฒนาเพื่ออธิบายสถานการณ์หรือเหตุการณ์ใดๆ ในโลก ไม่ว่าจะเป็นฟิสิกส์ วิศวกรรม เคมี สถิติ การวิเคราะห์ทางการเงิน หรือชีววิทยา (รายการไม่มีที่สิ้นสุด) อันที่จริง จนกระทั่งแคลคูลัสกลายเป็นทฤษฎีที่เป็นที่ยอมรับ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมก็ไม่สามารถวิเคราะห์ปัญหาที่น่าสนใจในธรรมชาติได้
สมการผลลัพธ์จากการใช้แคลคูลัสเฉพาะอาจซับซ้อนมากและบางครั้งก็แก้ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม มีบางอย่างที่เราแก้ได้ แต่อาจดูเหมือนกันและสับสน ดังนั้น เพื่อให้ง่ายต่อการระบุสมการเชิงอนุพันธ์จึงถูกจัดประเภทตามพฤติกรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน เชิงเส้นและไม่เชิงเส้นเป็นหนึ่งในการจัดหมวดหมู่ดังกล่าว การระบุความแตกต่างระหว่างสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและไม่เชิงเส้นเป็นสิ่งสำคัญ
สมการอนุพันธ์เชิงเส้นคืออะไร
สมมติว่า f: X→Y และ f(x)=y สมการอนุพันธ์ที่ไม่มีพจน์ที่ไม่เชิงเส้นของฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก y และอนุพันธ์ของมันคือเรียกว่าสมการอนุพันธ์เชิงเส้น
มันกำหนดเงื่อนไขที่ y ไม่สามารถมีเงื่อนไขดัชนีที่สูงกว่าเช่น y2, y3, … และอนุพันธ์หลายตัวเช่น เป็น
และต้องไม่มีคำที่ไม่เป็นเส้นตรง เช่น Sin y, e y ^-2 หรือ ln y มันอยู่ในรูปแบบ
โดยที่ y และ g เป็นฟังก์ชันของ x สมการคือสมการอนุพันธ์ของคำสั่ง n ซึ่งเป็นดัชนีของอนุพันธ์อันดับสูงสุด
ในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลคือตัวดำเนินการเชิงเส้นและคำตอบจะสร้างปริภูมิเวกเตอร์ ผลจากลักษณะเชิงเส้นตรงของชุดคำตอบ การรวมเชิงเส้นของคำตอบเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย นั่นคือ ถ้า y1 และ y2 เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์ แล้ว C1 y 1+ C2 y2 ก็เป็นทางออกเช่นกัน
ความเชิงเส้นของสมการเป็นเพียงพารามิเตอร์เดียวของการจำแนกประเภท และสามารถจัดหมวดหมู่เพิ่มเติมเป็นสมการเอกพันธ์หรือสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากัน และสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหรือบางส่วนได้ถ้าฟังก์ชันคือ g=0 สมการจะเป็นสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น ถ้า f เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตั้งแต่สองตัวขึ้นไป (f: X, T→Y) และ f(x, t)=y สมการจะเป็นสมการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นตรงบางส่วน
วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับชนิดและค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเชิงอนุพันธ์ กรณีที่ง่ายที่สุดเกิดขึ้นเมื่อสัมประสิทธิ์คงที่ ตัวอย่างคลาสสิกสำหรับกรณีนี้คือกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและการประยุกต์ต่างๆ กฎข้อที่สองของนิวตันสร้างสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่
สมการอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นคืออะไร
สมการที่มีพจน์ไม่เชิงเส้นเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น
ทั้งหมดข้างต้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นแก้ได้ยาก ดังนั้น จำเป็นต้องมีการศึกษาอย่างใกล้ชิดเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ในกรณีของสมการอนุพันธ์ย่อย สมการส่วนใหญ่ไม่มีคำตอบทั่วไป ดังนั้นแต่ละสมการจึงต้องได้รับการปฏิบัติอย่างอิสระ
สมการเนเวียร์-สโตกส์และสมการออยเลอร์ในไดนามิกของไหล สมการภาคสนามของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์เป็นที่รู้จักกันดีในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้นที่รู้จักกันดี บางครั้งการใช้สมการลากรองจ์กับระบบตัวแปรอาจส่งผลให้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้น
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและไม่เชิงเส้นต่างกันอย่างไร
• สมการอนุพันธ์ซึ่งมีเฉพาะพจน์เชิงเส้นของตัวแปรไม่ทราบค่าหรือตัวแปรตามและอนุพันธ์ของสมการเท่านั้น เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ไม่มีคำศัพท์ที่มีตัวแปรตามของดัชนีที่สูงกว่า 1 และไม่มีอนุพันธ์ใด ๆ ไม่สามารถมีฟังก์ชันไม่เชิงเส้น เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และฟังก์ชันลอการิทึมที่สัมพันธ์กับตัวแปรตาม สมการเชิงอนุพันธ์ใดๆ ที่มีพจน์ดังกล่าวเป็นสมการอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น
• เฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นสร้างปริภูมิเวกเตอร์และตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลยังเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์ด้วย
• คำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นค่อนข้างง่ายกว่าและมีคำตอบทั่วไปอยู่ สำหรับสมการไม่เชิงเส้น ในกรณีส่วนใหญ่ ไม่มีคำตอบทั่วไป และคำตอบอาจเป็นปัญหาเฉพาะ ทำให้การแก้ปัญหายากกว่าสมการเชิงเส้นมาก