ความแตกต่างระหว่างลอการิทึมกับเอ็กซ์โปเนนเชียล

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

ลอการิทึมเทียบกับเอ็กซ์โปเนนเชียล | ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล vs ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันเป็นหนึ่งในชั้นเรียนที่สำคัญที่สุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในเกือบทุกสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ ตามที่ชื่อแนะนำทั้งฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันพิเศษสองฟังก์ชัน

A ฟังก์ชั่นคือความสัมพันธ์ระหว่างสองชุดที่กำหนดไว้ในลักษณะที่สำหรับแต่ละองค์ประกอบในชุดแรก ค่าที่สอดคล้องกับชุดที่สองจะไม่ซ้ำกัน ให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดจากเซต A เป็นเซต B จากนั้นสำหรับแต่ละ x ϵ A สัญลักษณ์ ƒ(x) หมายถึงค่าที่ไม่ซ้ำกันในชุด B ที่สอดคล้องกับ xเรียกว่า ภาพของ x ภายใต้ ƒ ดังนั้น ความสัมพันธ์ ƒ จาก A ไป B จึงเป็นฟังก์ชัน หากสำหรับแต่ละ x ϵ A และ y ϵ A ถ้า x=y แล้ว ƒ(x)=ƒ(y) เซต A เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน ƒ และเป็นเซตที่กำหนดฟังก์ชัน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย ƒ(x)=e^x โดยที่ e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) และเป็นจำนวนอตรรกยะที่ยอดเยี่ยม ความพิเศษอย่างหนึ่งของฟังก์ชันคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับตัวมันเอง เช่น เมื่อ y=e^x, dy/dx=e^x นอกจากนี้ ฟังก์ชันยังเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องทุกที่ที่มีแกน x เป็นเส้นกำกับ ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วย สำหรับแต่ละ x ϵ R เรามี e^x> 0 และสามารถแสดงให้เห็นว่ามันอยู่บน R ⁺ นอกจากนี้ยังเป็นไปตามเอกลักษณ์พื้นฐาน e^x+y=e^xe^y และ e⁰ =1. ฟังก์ชันนี้ยังสามารถแสดงได้โดยใช้การขยายอนุกรมที่กำหนดโดย 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

ฟังก์ชันลอการิทึมคืออะไร

ฟังก์ชันลอการิทึมคือผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและเข้าสู่ R ⁺ ฟังก์ชัน g สามารถกำหนดจากเซตของจำนวนจริงบวกลงในเซตของจำนวนจริงที่กำหนดโดย g(y)=x, if and only if, y=e^x ฟังก์ชันนี้ g เรียกว่าฟังก์ชันลอการิทึมหรือโดยทั่วไปจะใช้เป็นลอการิทึมธรรมชาติ มันเขียนแทนด้วย g(x)=log e^{x=ln x เนื่องจากมันเป็นค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ถ้าเรานำภาพสะท้อนของกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมาบนเส้น y=x เราก็จะได้กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่แสดงอาการของแกน y}

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นไปตามกฎพื้นฐานซึ่ง ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y และ ln xy=y ln x มีความสำคัญที่สุด นี่เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและต่อเนื่องในทุกที่ ดังนั้นจึงเป็นแบบตัวต่อตัวแสดงว่าอยู่บน R.

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึมต่างกันอย่างไร

• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดย ƒ(x)=e^{x ในขณะที่ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดโดย g(x)=ln x และอดีตคือผกผันของ หลัง}

• โดเมนของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือชุดของจำนวนจริง แต่โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมคือชุดของจำนวนจริงบวก

• พิสัยของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือชุดของจำนวนจริงบวก แต่พิสัยของฟังก์ชันลอการิทึมคือชุดของจำนวนจริง