พาวเวอร์ซีรีส์ vs เทย์เลอร์ซีรีส์
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลำดับจริงคือรายการลำดับของจำนวนจริง อย่างเป็นทางการ มันคือฟังก์ชันจากเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นเซตของจำนวนจริง หาก an คือ nth ของลำดับ เราจะระบุลำดับโดยหรือโดย 1, a 2, …, an, ….ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. มันสามารถแสดงเป็น {1/n}.
มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดชุดโดยใช้ลำดับ อนุกรมเป็นผลรวมของเงื่อนไขของลำดับ ดังนั้น สำหรับแต่ละลำดับ จึงมีลำดับที่เกี่ยวข้องกันและในทางกลับกันหาก {an} เป็นลำดับที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ลำดับที่สร้างโดยลำดับนั้นสามารถแสดงเป็น:
ดังนั้น ในตัวอย่างข้างต้น ซีรีส์ที่เกี่ยวข้องคือ 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
ตามชื่อที่แนะนำ ชุดกำลังเป็นชุดชนิดพิเศษและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง ซีรีส์เทย์เลอร์เป็นซีรีส์กำลังพิเศษที่เป็นทางเลือกและง่ายต่อการจัดการในการแสดงฟังก์ชันที่รู้จักกันดี
Power series คืออะไร
ชุดพลังคือชุดของรูปแบบ
ซึ่งมาบรรจบกัน (อาจ) สำหรับบางช่วงที่มีศูนย์กลางที่ c สัมประสิทธิ์ anสามารถเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน และเป็นอิสระจาก x; นั่นคือตัวแปรจำลอง
ตัวอย่างเช่น โดยการตั้งค่า an=1 สำหรับแต่ละ n และ c=0, อนุกรมกำลัง 1+x+x2 +…..+ x+… ได้รับแล้ว สังเกตได้ง่ายว่าเมื่อ x ε (-1, 1) อนุกรมกำลังนี้มาบรรจบกันเป็น 1/(1-x)
อนุกรมกำลังมาบรรจบกันเมื่อ x=c ค่าอื่นๆ ของ x ที่อนุกรมกำลังมาบรรจบกันจะอยู่ในรูปแบบของช่วงเปิดที่มีศูนย์กลางที่ c เสมอ นั่นคือ จะมีค่า 0≤ R ≤ ∞ ซึ่งสำหรับแต่ละ x ที่น่าพอใจ |x-c|≤ R อนุกรมกำลังจะบรรจบกัน และสำหรับแต่ละ x ที่น่าพอใจ |x-c|> R อนุกรมกำลังจะแตกต่างกัน ค่า R นี้เรียกว่ารัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง (R สามารถรับค่าจริงหรืออนันต์บวกใดๆ ก็ได้)
ชุดกำลังสามารถเพิ่ม ลบ คูณ และหารได้โดยใช้กฎต่อไปนี้ พิจารณาชุดกำลังสองชุด:
จากนั้น
เช่น คำเหมือนจะถูกเพิ่มหรือลบเข้าด้วยกัน นอกจากนี้ยังสามารถคูณและหารอนุกรมกำลังทั้งสองโดยใช้เอกลักษณ์
เทย์เลอร์ซีรีส์คืออะไร
Taylor series ถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชัน f (x) ที่หาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดในช่วงเวลา สมมติว่า f (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเวลาที่ศูนย์กลางที่ c จากนั้นชุดพลังที่ได้รับจาก
เรียกว่าเทย์เลอร์ซีรีส์การขยายตัวของฟังก์ชัน f (x) เกี่ยวกับค. (ในที่นี้ f(n) (c) หมายถึง nth อนุพันธ์ที่ x=c) ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข มีการใช้คำศัพท์จำนวนจำกัดในการขยายแบบไม่จำกัดนี้ในการคำนวณค่าที่จุดที่อนุกรมมาบรรจบกับฟังก์ชันดั้งเดิม
ฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าการวิเคราะห์ในช่วงเวลา (a, b) ถ้าสำหรับแต่ละ x ε (a, b) อนุกรมเทย์เลอร์ของ f (x) จะมาบรรจบกับฟังก์ชัน f (x). ตัวอย่างเช่น 1/(1-x) เป็นการวิเคราะห์ใน (-1, 1) เนื่องจากส่วนขยายของเทย์เลอร์ 1+x+x2+….+ x +… มาบรรจบกับฟังก์ชันในช่วงเวลานั้น และ ex มีการวิเคราะห์ทุกที่ เนื่องจากซีรีส์เทย์เลอร์ของ ex มาบรรจบกันเป็น e x สำหรับแต่ละจำนวนจริง x.
Power series กับ Taylor series ต่างกันอย่างไร
1. ซีรีส์เทย์เลอร์เป็นซีรีย์พาวเวอร์คลาสพิเศษที่กำหนดไว้เฉพาะสำหรับฟังก์ชันที่มีความแตกต่างอย่างไม่สิ้นสุดในช่วงเวลาที่เปิดบางช่วง
2. ซีรี่ย์เทย์เลอร์ใช้รูปแบบพิเศษ
ในขณะที่ อนุกรมกำลังสามารถอยู่ในรูปแบบใดก็ได้
