มุมฉากกับฉากปกติ
ในวิชาคณิตศาสตร์ มักใช้คำสองคำ มุมฉาก และ ฉากปกติ ร่วมกับชุดของเวกเตอร์ ในที่นี้ คำว่า 'เวกเตอร์' ถูกใช้ในแง่ที่ว่ามันเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งเป็นโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้น สำหรับการสนทนา เราจะพิจารณาพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายใน – พื้นที่เวกเตอร์ V พร้อมกับผลิตภัณฑ์ภายใน ที่กำหนดไว้ใน V.
ตัวอย่างเช่น สำหรับผลิตภัณฑ์ภายใน ช่องว่างคือชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมดพร้อมกับผลิตภัณฑ์จุดปกติ
มุมฉากคืออะไร
A nonempty subset S ของ inner product space V ถูกเรียกว่า orthogonal ถ้าสำหรับแต่ละ u ที่แตกต่างกัน v ใน S, [u, v]=0; นั่นคือผลคูณภายในของ u และ v เท่ากับศูนย์สเกลาร์ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายใน
ตัวอย่างเช่น ในชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมด นี่เทียบเท่ากับการบอกว่าสำหรับเวกเตอร์ตำแหน่งคู่ที่แตกต่างกัน p และ q ใน S, p และ q ตั้งฉากกัน (โปรดจำไว้ว่าผลคูณภายในในพื้นที่เวกเตอร์นี้คือผลคูณดอท นอกจากนี้ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับ 0 หากเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกันเท่านั้น)
พิจารณาเซต S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} ซึ่งเป็นเซตย่อยของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติ สังเกตว่า (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0 ดังนั้น เซต S จึงเป็นมุมฉาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์สองตัวกล่าวว่าเป็นมุมฉากถ้าผลิตภัณฑ์ภายในเป็น 0 ดังนั้นเวกเตอร์แต่ละคู่ใน Sis orthogonal
ออร์โธนอร์มอลคืออะไร
A nonempty subset S ของ inner product space V ถูกเรียกว่า orthonormal ก็ต่อเมื่อ S เป็น orthogonal และสำหรับ vector u แต่ละตัวใน S, [u, u]=1 จะเห็นได้ว่า ทุกชุด orthonormal เป็นมุมฉาก แต่ไม่กลับกัน
ตัวอย่างเช่น ในชุดของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมด นี่เทียบเท่ากับการบอกว่าสำหรับเวกเตอร์ตำแหน่งคู่ที่แตกต่างกัน p และ q ใน S, p และ q ตั้งฉากกัน และสำหรับ แต่ละ p ใน S, |p|=1 นี่เป็นเพราะเงื่อนไข [p, p]=1 ลดลงเป็น p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 ซึ่งเทียบเท่ากับ |p |=1 ดังนั้น เมื่อกำหนดเซตมุมฉาก เราสามารถสร้างเซตออร์โธนอร์มอลที่สอดคล้องกันได้เสมอโดยหารเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยขนาดของมัน
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} เป็นเซตย่อยออร์โธนอร์มัลของเซตของเวกเตอร์ตำแหน่ง 3 มิติทั้งหมด มันง่ายที่จะเห็นว่ามันได้มาจากการหารเวกเตอร์แต่ละตัวในชุด S ด้วยขนาดของพวกมัน
มุมฉากกับมุมฉากต่างกันอย่างไร
- A nonempty subset S ของ inner product space V ถูกเรียกว่า orthogonal ถ้า and only if สำหรับ u ที่แตกต่างกันแต่ละตัว v ใน S, [u, v]=0 อย่างไรก็ตาม มันเป็น orthogonal ถ้า และ เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขเพิ่มเติม – สำหรับแต่ละเวกเตอร์ u ใน S, [u, u]=1 เป็นที่พอใจ
- ฉากตั้งฉากใดๆ ที่เป็นฉากตั้งฉากแต่ไม่กลับกัน
- ฉากมุมฉากใดๆ ก็ตามที่สอดคล้องกับฉากออร์โธนอร์มอลที่ไม่ซ้ำใคร แต่เซ็ตออร์โธนอร์มอลอาจสัมพันธ์กับเซ็ตฉากออร์โธกอนจำนวนมาก