ความแตกต่างระหว่างชุดเลขคณิตกับเรขาคณิต

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

ชุดเลขคณิตกับเรขาคณิต

คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของชุดข้อมูลมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลำดับ ลำดับคือชุดตัวเลขที่เรียงลำดับและสามารถเป็นได้ทั้งชุดจำกัดหรือชุดอนันต์ ลำดับของตัวเลขที่มีความแตกต่างระหว่างสององค์ประกอบที่เป็นค่าคงที่เรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลำดับที่มีค่าคงที่ของตัวเลขสองตัวต่อเนื่องกันเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้าเหล่านี้อาจเป็นแบบจำกัดหรืออนันต์ก็ได้ และหากจำกัด จำนวนเงื่อนไขจะนับได้ มิฉะนั้นจะนับไม่ได้

โดยทั่วไป ผลรวมขององค์ประกอบในความคืบหน้าสามารถกำหนดเป็นชุดข้อมูลได้ ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่าอนุกรมเลขคณิต ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเรียกว่าอนุกรมเรขาคณิต

เพิ่มเติมเกี่ยวกับชุดเลขคณิต

ในอนุกรมเลขคณิต พจน์ที่ต่อเนื่องกันจะมีความแตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑ⁱ⁼¹a_i; โดยที่ a₂ =a₁ + d, a₃ =a₂ + d และอื่นๆ

ความแตกต่าง d นี้เรียกว่าความแตกต่างทั่วไป และคำ n^th ถูกกำหนดโดย a_n =a ₁+ (n-1)d; โดยที่ a_{1 เป็นเทอมแรก}

พฤติกรรมของซีรีส์เปลี่ยนไปตามความแตกต่างทั่วไป ง. หากความแตกต่างทั่วไปเป็นบวก ความก้าวหน้ามีแนวโน้มที่จะเป็นบวกอนันต์ และหากความแตกต่างทั่วไปเป็นค่าลบ ก็จะมีแนวโน้มไปสู่ค่าอนันต์เชิงลบ

ผลรวมของซีรีส์หาได้จากสูตรง่ายๆ ต่อไปนี้ ซึ่งพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Aryabhata

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

ผลรวม S_{n สามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ขึ้นอยู่กับจำนวนของเงื่อนไข}

เพิ่มเติมเกี่ยวกับซีรีย์เรขาคณิต

ชุดเรขาคณิตคือชุดที่มีผลหารของค่าคงที่ตัวเลขต่อเนื่องกัน เป็นชุดสำคัญที่พบในการศึกษาชุดเพราะมีคุณสมบัติ

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

ตามอัตราส่วน r พฤติกรรมของซีรีส์สามารถจำแนกได้ดังนี้ r={|r|≥1 ซีรีส์แตกต่าง; r≤1 ซีรีส์มาบรรจบกัน} นอกจากนี้ ถ้า r<0 ซีรีส์แกว่ง ก็คือ ซีรีส์มีค่าสลับกัน

ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ S_n =a(1-r^{) / (1-r); โดยที่ a คือพจน์เริ่มต้นและ r คืออัตราส่วน ถ้าอัตราส่วน r≤1 อนุกรมมาบรรจบกัน สำหรับอนุกรมอนันต์ ค่าของการบรรจบกันถูกกำหนดโดย S}n_{=a / (1-r)}

ชุดเรขาคณิตมีการใช้งานมากมายในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ วิศวกรรมศาสตร์ และเศรษฐศาสตร์

ชุดเลขคณิตและเรขาคณิตต่างกันอย่างไร

• ชุดเลขคณิตคือชุดที่มีความแตกต่างคงที่ระหว่างพจน์สองคำที่อยู่ติดกัน

• อนุกรมเรขาคณิตคือชุดที่มีผลหารคงที่ระหว่างสองเทอมที่ต่อเนื่องกัน

• อนุกรมเลขคณิตอนันต์ทั้งหมดจะต่างกันเสมอ แต่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน อนุกรมเรขาคณิตสามารถบรรจบกันหรือแยกจากกัน

• อนุกรมเรขาคณิตสามารถมีค่าแกว่ง; นั่นคือตัวเลขเปลี่ยนสัญญาณเป็นอย่างอื่น แต่อนุกรมเลขคณิตไม่สามารถมีการแกว่งได้