สี่เหลี่ยมกับสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยม เรขาคณิตของตัวเลขเหล่านี้เป็นที่รู้จักของมนุษย์มาเป็นเวลาหลายพันปี หัวข้อได้รับการปฏิบัติอย่างชัดเจนในหนังสือ “องค์ประกอบ” ที่เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Euclid
สี่เหลี่ยมด้านขนาน
สี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีสี่ด้านโดยให้ด้านตรงข้ามขนานกัน ที่แม่นยำกว่านั้นมันคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ ลักษณะคู่ขนานนี้ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณลักษณะทางเรขาคณิตมากมาย
รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหากพบลักษณะทางเรขาคณิตตามหลัง
• ฝ่ายตรงข้ามสองคู่มีความยาวเท่ากัน (AB=DC, AD=BC)
• มุมตรงข้ามสองคู่มีขนาดเท่ากัน ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• ถ้ามุมที่อยู่ติดกันเป็นส่วนเสริม [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• ด้านคู่ขนานกันซึ่งขนานกันและยาวเท่ากัน (AB=DC & AB∥DC)
• เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน (AO=OC, BO=OD)
• เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
นอกจากนี้ ผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านข้างจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมของเส้นทแยงมุม บางครั้งเรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมด้านขนานและมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในด้านฟิสิกส์และวิศวกรรม (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
แต่ละคุณสมบัติข้างต้นสามารถใช้เป็นคุณสมบัติได้ เมื่อกำหนดว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้โดยผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงไปทางด้านตรงข้าม ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถระบุเป็น
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน=ฐาน × สูง=AB×h
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานไม่ขึ้นกับรูปร่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละด้าน ขึ้นอยู่กับความยาวของฐานและความสูงตั้งฉากเท่านั้น
หากด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์สองตัว พื้นที่นั้นหาได้จากขนาดของผลคูณของเวกเตอร์ (ผลคูณไขว้) ของเวกเตอร์สองตัวที่อยู่ติดกัน
ถ้าด้าน AB และ AD แทนด้วยเวกเตอร์ ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) และ ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) ตามลำดับ พื้นที่ของ สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกกำหนดโดย [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex] โดยที่ α คือมุมระหว่าง [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] และ [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
ต่อไปนี้คือคุณสมบัติขั้นสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยเส้นทแยงมุมใดๆ
• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกหารครึ่งด้วยเส้นใดๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลาง
• การแปลงความคล้ายคลึงที่ไม่เสื่อมลงใด ๆ จะนำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานไปเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกอัน
• สี่เหลี่ยมด้านขนานมีความสมมาตรในการหมุนของลำดับ 2
• ผลรวมของระยะทางจากจุดภายในใดๆ ของสี่เหลี่ยมด้านขนานไปด้านข้างไม่ขึ้นกับตำแหน่งของจุดนั้น
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสี่มุมเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมระหว่างสองด้านที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก
นอกจากคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังสามารถรับรู้คุณลักษณะเพิ่มเติมเมื่อพิจารณาเรขาคณิตของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• ทุกมุมที่จุดยอดเป็นมุมฉาก
• เส้นทแยงมุมมีความยาวเท่ากันและผ่าครึ่งซึ่งกันและกัน ดังนั้นส่วนที่แบ่งเป็นสองส่วนจึงมีความยาวเท่ากัน
• คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
PQ2 + PS2 =SQ2
• สูตรพื้นที่ลดลงเป็นผลคูณของความยาวและความกว้าง
พื้นที่สี่เหลี่ยม=ยาว × กว้าง
• พบคุณสมบัติสมมาตรมากมายบนสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่น;
– สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นวงกลม โดยสามารถวางจุดยอดทั้งหมดบนเส้นรอบวงของวงกลมได้
– เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ทุกมุมเท่ากัน
– เป็นภาพสามมิติ โดยที่ทุกมุมอยู่ในวงโคจรสมมาตรเดียวกัน
– มีทั้งสมมาตรสะท้อนแสงและสมมาตรในการหมุน
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มันยังตั้งชื่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า ถือว่ามีรูปทรงเพชรคล้ายกับไพ่ในไพ่
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านทั้งสี่เท่ากัน และมีคุณสมบัติพิเศษดังต่อไปนี้ นอกเหนือไปจากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งเป็นมุมฉาก เส้นทแยงมุมตั้งฉาก
• เส้นทแยงมุมแบ่งสองมุมภายในตรงข้ามกัน
• อย่างน้อยสองด้านที่อยู่ติดกันมีความยาวเท่ากัน
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับสี่เหลี่ยมต่างกันอย่างไร
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• พื้นที่ใดๆ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรฐาน ×ความสูง
• พิจารณาเส้นทแยงมุม;
– เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งกันที่มุมฉาก และสามเหลี่ยมที่ก่อตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า
– เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวเท่ากันและแบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนที่ผ่าครึ่งมีความยาวเท่ากัน เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากัน
• พิจารณามุมภายใน;
– มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกแบ่งครึ่งด้วยเส้นทแยงมุม
– มุมภายในทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมเป็นมุมฉาก
• พิจารณาด้านข้าง;
– เนื่องจากทั้งสี่ด้านมีค่าเท่ากันในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เท่าของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุม (โดยใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน)
– ในรูปสี่เหลี่ยม ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านที่อยู่ติดกันทั้งสองข้างจะเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมที่ปลาย (กฎพีทาโกรัส)