ความแตกต่างระหว่างสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

สมการเชิงเส้นกับสมการกำลังสอง

ในวิชาคณิตศาสตร์ สมการพีชคณิตคือสมการที่สร้างโดยใช้พหุนาม เมื่อเขียนอย่างชัดแจ้ง สมการจะอยู่ในรูปแบบ P(x)=0 โดยที่ x เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว และ P คือพหุนาม ตัวอย่างเช่น P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 คือสมการพีชคณิตของตัวแปรสองตัวที่เขียนไว้อย่างชัดเจน นอกจากนี้ (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ เป็นสมการพีชคณิต แต่อยู่ในรูปแบบโดยนัย จะอยู่ในรูปแบบ Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0 เมื่อเขียนอย่างชัดเจนแล้ว}

ลักษณะสำคัญของสมการพีชคณิตคือดีกรีของมัน มันถูกกำหนดให้เป็นกำลังสูงสุดของเงื่อนไขที่เกิดขึ้นในสมการ หากพจน์ประกอบด้วยตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวจะถูกนำมาเป็นกำลังของพจน์นั้น สังเกตว่าตามคำจำกัดความนี้ P(x, y)=0 คือดีกรี 4 ขณะที่ Q(x, y, z)=0 คือดีกรี 5.

สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นสมการพีชคณิตสองแบบที่แตกต่างกัน ระดับของสมการคือปัจจัยที่ทำให้แตกต่างจากสมการพีชคณิตที่เหลือ

สมการเชิงเส้นคืออะไร

สมการเชิงเส้นคือสมการพีชคณิตของดีกรี 1 ตัวอย่างเช่น 4x + 5=0 เป็นสมการเชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งตัว x + y + 5z=0 และ 4x=3w + 5y + 7z เป็นสมการเชิงเส้นของตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นของตัวแปร n จะอยู่ในรูปแบบ m₁x_{1+m 2}x₂+…+ m_n-1x n-1_{+ m}n_xn _{=ข.ในที่นี้ x}i_{s คือตัวแปรที่ไม่รู้จัก m}i_{s และ b เป็นจำนวนจริงที่แต่ละ m}i _{ไม่ใช่ศูนย์}

สมการดังกล่าวแสดงถึงไฮเปอร์ระนาบในปริภูมิแบบยูคลิดที่มีมิติ n โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการเชิงเส้นสองตัวแปรแทนเส้นตรงในระนาบคาร์ทีเซียน และสมการเชิงเส้นตัวแปรสามตัวแปรแทนระนาบบนช่องว่าง 3 แบบแบบยุคลิด

สมการกำลังสองคืออะไร

สมการกำลังสองคือสมการพีชคณิตของดีกรีที่สอง x² + 3x + 2=0 เป็นสมการกำลังสองตัวแปรเดียว x² + y² + 3x=4 และ 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 คือตัวอย่างสมการกำลังสองของตัวแปร 2 และ 3 ตัวตามลำดับ}

ในกรณีตัวแปรเดียว รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ ax² + bx + c=0 โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนจริง 'a' ไม่ใช่ศูนย์ การเลือกปฏิบัติ ∆=(b^{2 – 4ac) กำหนดธรรมชาติของรากของสมการกำลังสองรากของสมการจะแตกต่างกันจริง คล้ายกันจริงและซับซ้อน โดยที่ ∆ เป็นค่าบวก ศูนย์และค่าลบ สามารถหารากของสมการได้ง่ายๆ โดยใช้สูตร x=(- b ± √∆) / 2a.}

ในตัวแปรสองกรณี รูปแบบทั่วไปจะเป็น ax² + โดย^{2 + cxy + dx + ex + f=0 และนี่แทนรูปกรวย (พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา หรือวงรี) ในระนาบคาร์ทีเซียน ในมิติที่สูงกว่า สมการประเภทนี้แสดงถึงไฮเปอร์พื้นผิวที่เรียกว่า quadrics}

สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองต่างกันอย่างไร

• สมการเชิงเส้นคือสมการพีชคณิตของดีกรี 1 ในขณะที่สมการกำลังสองคือสมการพีชคณิตของดีกรี 2

• ในปริภูมิแบบยูคลิด n มิติ พื้นที่คำตอบของสมการเชิงเส้นตัวแปร n คือระนาบไฮเปอร์ในขณะที่สมการกำลังสองของตัวแปร n คือพื้นผิวกำลังสอง