ประชากรเทียบกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
ในสถิติ ดัชนีหลายตัวใช้เพื่ออธิบายชุดข้อมูลที่สอดคล้องกับแนวโน้มศูนย์กลาง การกระจายตัว และความเบ้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่งในการวัดการกระจายข้อมูลจากศูนย์กลางของชุดข้อมูลที่พบบ่อยที่สุด
เนื่องจากความยากในทางปฏิบัติ จึงไม่สามารถใช้ข้อมูลจากประชากรทั้งหมดเมื่อทดสอบสมมติฐาน ดังนั้นเราจึงใช้ค่าข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่างในการอนุมานเกี่ยวกับประชากร ในสถานการณ์เช่นนี้ สิ่งเหล่านี้เรียกว่าตัวประมาณ เนื่องจากมันประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร
การใช้ตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงในการอนุมานเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง ตัวประมาณค่าจะถือว่าเป็นกลาง ถ้าค่าที่คาดหวังของตัวประมาณนั้นเท่ากับค่าพารามิเตอร์ของประชากร ตัวอย่างเช่น เราใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงสำหรับค่าเฉลี่ยประชากร (ในทางคณิตศาสตร์ แสดงว่าค่าคาดหวังของค่าเฉลี่ยตัวอย่างเท่ากับค่าเฉลี่ยประชากร) ในกรณีของการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างก็เป็นค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงเช่นกัน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคืออะไร
เมื่อสามารถนำข้อมูลจากประชากรทั้งหมดมาพิจารณา (เช่น ในกรณีของสำมะโน) เป็นไปได้ที่จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ขั้นแรกให้คำนวณค่าเบี่ยงเบนของค่าข้อมูลจากค่าเฉลี่ยประชากร ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรากกำลังสอง (ค่าเฉลี่ยกำลังสอง) เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
ในชั้นเรียนที่มีนักเรียน 10 คน สามารถรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับนักเรียนได้อย่างง่ายดายหากมีการทดสอบสมมติฐานกับนักเรียนกลุ่มนี้ ก็ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าตัวอย่าง เช่น น้ำหนักนักเรียน 10 คน (เป็นกิโลกรัม) วัดได้ 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 และ 79 แล้วน้ำหนักเฉลี่ยทั้งสิบคน (เป็นกิโลกรัม) คือ (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10 ซึ่งเท่ากับ 71 (เป็นกิโลกรัม) นี่คือค่าเฉลี่ยประชากร
ตอนนี้เพื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เราคำนวณค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนตามลำดับจากค่าเฉลี่ยคือ (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 และ (79 – 71)=8 ผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนคือ (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร คือ √(366/10)=6.05 (เป็นกิโลกรัม) 71 คือน้ำหนักเฉลี่ยที่แน่นอนของนักเรียนในชั้นเรียนและ 605 คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แน่นอนของน้ำหนักตั้งแต่ 71.
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างคืออะไร
เมื่อใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง (ขนาด n) ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร ระบบจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ขั้นแรกให้คำนวณค่าเบี่ยงเบนของค่าข้อมูลจากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง เนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างถูกใช้แทนค่าเฉลี่ยประชากร (ซึ่งไม่เป็นที่รู้จัก) การใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองจึงไม่เหมาะสม เพื่อชดเชยการใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ผลรวมของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองหารด้วย (n-1) แทนที่จะเป็น n ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือสแควร์รูทของสิ่งนี้ ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} โดยที่ S คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง, ẍ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง และ xi คือจุดข้อมูล
ตอนนี้ สมมติว่า ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ประชากรคือนักเรียนของทั้งโรงเรียน จากนั้นชั้นเรียนจะเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น หากใช้ตัวอย่างนี้ในการประมาณค่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจะเป็น √(366/9)=638 (เป็นกิโลกรัม) ตั้งแต่ 366 หารด้วย 9 แทนที่จะเป็น 10 (ขนาดตัวอย่าง) ข้อเท็จจริงที่ต้องสังเกตคือสิ่งนี้ไม่รับประกันว่าจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แน่นอน เป็นเพียงการประมาณการเท่านั้น
ความแตกต่างระหว่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างคืออะไร
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือค่าพารามิเตอร์ที่แน่นอนที่ใช้ในการวัดการกระจายจากศูนย์กลาง ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างเป็นตัวประมาณที่ไม่เอนเอียง
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะคำนวณเมื่อทราบข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับแต่ละบุคคลของประชากร มิฉะนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจะถูกคำนวณ
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรกำหนดโดย σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} โดยที่ µ คือค่าเฉลี่ยประชากร และ n คือขนาดประชากร แต่ S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} โดยที่ ẍ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง และ n คือขนาดตัวอย่าง