จำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพ
ตัวเลขคือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ใช้นับและวัด คำจำกัดความของมันเปลี่ยนไปในช่วงหลายปีที่ผ่านมาด้วยการบวกศูนย์ จำนวนลบ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนจินตภาพ แม้ว่าพื้นฐานนามธรรมของระบบตัวเลขจะสัมพันธ์กับโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น กลุ่ม วงแหวน และฟิลด์ แต่แนวคิดง่ายๆ เท่านั้นที่ถูกนำเสนอที่นี่
จำนวนจริงคืออะไร
กำหนดอย่างไม่เป็นทางการ จำนวนจริงคือจำนวนที่ยกกำลังสองไม่เป็นลบ ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ เราแสดงเซตของจำนวนจริงด้วยสัญลักษณ์ Rดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมด ถ้า x ϵ R ตามด้วย x 2 ≥ 0 อย่างเข้มงวดยิ่งขึ้น สามารถแนะนำเซตของจำนวนจริงเป็นฟิลด์ที่เรียงลำดับโดยสิ้นเชิงที่ไม่ซ้ำกันและสมบูรณ์ด้วยการดำเนินการไบนารี + และ. พร้อมกับความสัมพันธ์ของลำดับ < ความสัมพันธ์ของลำดับนี้เป็นไปตามกฎไตรโคโตมี ซึ่งระบุว่าให้จำนวนจริง x และ y สองจำนวน หนึ่งและมีเพียงหนึ่งใน 3 เหล่านี้เท่านั้น x > y, x < y หรือ x=y.
จำนวนจริงอาจเป็นพีชคณิตหรืออนันต์ก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าเป็นรากของสมการพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มหรือไม่ นอกจากนี้ จำนวนจริงอาจเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่น 2.5 เป็นจำนวนจริง ซึ่งเป็นพีชคณิตและตรรกยะ แต่ ᴫ เป็นจำนวนอตรรกยะและอตรรกยะ
ชุดเลขจริงครบชุด หมายความว่าสำหรับชุดย่อยที่ไม่ว่างแต่ละชุดของจำนวนจริงที่ล้อมรอบด้านบน มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด และจากนี้ จึงสามารถอนุมานได้ว่าสำหรับชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่าแต่ละชุดของจำนวนจริงที่ล้อมรอบด้านล่าง มีขอบเขตล่างมากที่สุดซึ่งทำให้แยกเซตของจำนวนจริงออกจากเซตของจำนวนตรรกยะ เราสามารถโต้แย้งได้ว่าเซตของจำนวนจริงถูกสร้างขึ้นโดยการเติมช่องว่างของเซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่สมบูรณ์ ช่องว่างนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ
จำนวนจินตภาพคืออะไร
จำนวนจินตภาพคือจำนวนที่ยกกำลังสองเป็นลบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลข เช่น √(-1), √(-100) และ √(- e) เป็นจำนวนจินตภาพ จำนวนจินตภาพทั้งหมดสามารถเขียนได้ในรูปแบบ a i โดยที่ i คือ 'หน่วยจินตภาพ' √(-1) และ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ (สังเกตว่า i2=-1). แม้ว่าตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะไม่ใช่ของจริงและตามชื่อที่บ่งบอกว่าไม่มีอยู่จริง มีการใช้ตัวเลขเหล่านี้ในการใช้งานจริงที่จำเป็นหลายอย่าง เช่น การบิน อิเล็กทรอนิกส์ และวิศวกรรม
จำนวนจริงกับจำนวนจินตภาพต่างกันอย่างไร• กำลังสองของจำนวนจริงไม่เป็นลบ แต่กำลังสองของจำนวนจินตภาพเป็นลบ • เซตของจำนวนจริงสร้างฟิลด์ที่มีลำดับอย่างสมบูรณ์ในขณะที่ชุดของจำนวนจินตภาพไม่ครบหรือไม่สมบูรณ์ |