ความแตกต่างระหว่าง Adjoint และ Inverse Matrix

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

Adjoint vs Inverse Matrix

ทั้งเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันและเมทริกซ์ผกผันได้มาจากการดำเนินการเชิงเส้นบนเมทริกซ์ และเป็นเมทริกซ์สองตัวที่มีคุณสมบัติต่างกัน

เพิ่มเติมเกี่ยวกับ (คลาสสิก) Adjoint หรือ Adjugate Matrix

เมทริกซ์แอดจอยต์ หรือเมทริกซ์แอดจูเกตคือทรานสโพสของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ หากโคแฟกเตอร์เมทริกซ์ของ A คือ C ดังนั้นเมทริกซ์แอดจูเกตของ A จะได้รับโดย C ^T เช่น adj(A)=C ^T.

โคแฟกเตอร์เมทริกซ์ถูกกำหนดโดย C=(-1)^i+j M _ij โดยที่ M _ij เป็นตัวรองขององค์ประกอบ ij^thดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการเอาแถว i^th และ j^th ออกเรียกว่าไมเนอร์ของ ij^{thองค์ประกอบ [ในการคำนวณเมทริกซ์ adjugate ขั้นแรกให้หา minors ของแต่ละองค์ประกอบ จากนั้นสร้าง cofactor matrix ในที่สุดก็หา transpose ของ adjugate matrix]}

ส่วนต่อประสานสามารถใช้ในการคำนวณอินเวอร์สของเมทริกซ์และสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของดีเทอร์มีแนนต์ด้วยสูตรของจาโคบี คำว่า "adjoint" ค่อนข้างล้าสมัยและตอนนี้ใช้สำหรับคอนจูเกตที่ซับซ้อนของเมทริกซ์ ดังนั้น ศัพท์ที่ถูกต้องคือ adjugate matrix หรือ adjunct matrix

เพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผัน

ผกผันของเมทริกซ์ถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ที่ให้เมทริกซ์เอกลักษณ์เมื่อคูณเข้าด้วยกัน ดังนั้น ตามคำนิยาม ถ้า AB=BA=I ดังนั้น B คือเมทริกซ์ผกผันของ A และ A คือเมทริกซ์ผกผันของ B ดังนั้น หากเราพิจารณา B=A ^-1 แล้ว AA ^-1 =A ^{-1 A=ฉัน}

สำหรับเมทริกซ์ที่จะกลับด้านได้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือดีเทอร์มีแนนต์ของ A ไม่เป็นศูนย์เช่น | A |=det(A) ≠ 0 กล่าวกันว่าเมทริกซ์จะกลับด้าน ไม่ใช่เอกพจน์ หรือไม่เสื่อมถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ตามด้วย A เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส และทั้ง A ^{-1 และ A มีขนาดเท่ากัน}

ผกผันของเมทริกซ์ A สามารถคำนวณได้หลายวิธีในพีชคณิตเชิงเส้น เช่น การคัดออกแบบเกาส์เซียน, การแยกตัวออกมาเป็นองค์ประกอบ, การสลายตัวของ Cholesky และกฎของคาร์เมอร์ เมทริกซ์สามารถกลับด้านได้โดยวิธีบล็อกผกผันและชุดนอยมันน์

กฎของแครมเมอร์ให้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ และผลลัพธ์ก็สามารถอธิบายเงื่อนไขที่ไม่เป็นเอกพจน์ได้ด้วย ตามกฎของแครมเมอร์ A ^-1 =adj(A)/det(A) หรือ adj(A)=A ^{-1 det(A) เพื่อให้ผลลัพธ์นี้ถูกต้อง det(A) ≠ 0 ดังนั้นเมทริกซ์จะกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขข้างต้นเท่านั้น}

เมทริกซ์ Adjoint และ Inverse ต่างกันอย่างไร

• แอดจูเกตหรือแอดจอยต์ของเมทริกซ์คือทรานสโพสของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ ในขณะที่เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่ให้เมทริกซ์เอกลักษณ์เมื่อคูณเข้าด้วยกัน

• Adjugate matrix สามารถใช้คำนวณเมทริกซ์ผกผันและเป็นหนึ่งในวิธีการทั่วไปในการค้นหาอินเวอร์สด้วยตนเอง

• สำหรับทุกเมทริกซ์ เมทริกซ์แอดจูเกตมีอยู่ แต่อินเวอร์สจะมีก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์