ความแตกต่างระหว่างเบอร์นูลลีกับทวินาม

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

เบอร์นูลลี vs ทวินาม

ในชีวิตจริงเรามักจะเจอเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์เพียงสองอย่างเท่านั้นที่สำคัญ ตัวอย่างเช่น เราผ่านการสัมภาษณ์งานที่เราเผชิญหรือไม่ผ่านในการสัมภาษณ์ ไม่ว่าจะเป็นเที่ยวบินของเราออกตรงเวลาหรือล่าช้า ในสถานการณ์เหล่านี้ เราสามารถใช้แนวคิดความน่าจะเป็น 'การทดลองของ Bernoulli'.

เบอร์นูลลี่

การทดลองสุ่มที่มีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็น p และ q; โดยที่ p+q=1 เรียกว่าการทดสอบ Bernoulli เพื่อเป็นเกียรติแก่ James Bernoulli (1654-1705) โดยทั่วไป ผลลัพธ์ทั้งสองของการทดสอบคือ "สำเร็จ" หรือ "ล้มเหลว"

ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาที่จะโยนเหรียญ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างคือ 'หัว' หรือ 'หาง' ถ้าเราสนใจหัวจะล้ม ความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ 1/2 ซึ่งสามารถแสดงเป็น P (สำเร็จ)=1/2 และความน่าจะเป็นของความล้มเหลวคือ 1/2 ในทำนองเดียวกันเมื่อเราทอยลูกเต๋าสองลูก ถ้าเราสนใจแค่ผลรวมของลูกเต๋าสองลูกเป็น 8 P (สำเร็จ)=5/36 และ P (ล้มเหลว)=1- 5/36=31/36.

กระบวนการเบอร์นูลลีเป็นการเกิดขึ้นของลำดับการทดลองเบอร์นูลลีอย่างอิสระ ดังนั้นความน่าจะเป็นของความสำเร็จจึงยังคงเท่าเดิมสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง นอกจากนี้ สำหรับความน่าจะเป็นในการทดลองแต่ละครั้งของความล้มเหลวคือ 1-P(ความสำเร็จ)

เนื่องจากแต่ละเทรลเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในกระบวนการเบอร์นูลลีสามารถคำนวณได้โดยหาผลคูณของความน่าจะเป็นของความสำเร็จและความล้มเหลว ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของความสำเร็จ [P(S)] แทนด้วย p และความน่าจะเป็นของความล้มเหลว [P (F)] จะแสดงด้วย q; แล้ว P(SSSF)=p³q และ P(FFSS)=p²q2

ทวินาม

การทดลอง Bernoulli นำไปสู่การแจกแจงแบบทวินาม คนส่วนใหญ่มักสับสนกับคำสองคำ 'Bernoulli' และ 'Binomial' การแจกแจงทวินามเป็นผลรวมของการทดลองเบอร์นูลลีที่เป็นอิสระและกระจายอย่างสม่ำเสมอ การแจกแจงทวินามแสดงโดยสัญกรณ์ b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k โดยที่ C(n, k) เรียกว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม สัมประสิทธิ์ทวินาม C(n, k) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร n!/k!(nk)!.}

ตัวอย่างเช่น ถ้าขายลอตเตอรีทันทีที่มีตั๋วถูกรางวัล 25% ในหมู่ 10 คน ความน่าจะเป็นในการซื้อสลากที่ชนะคือ b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0.75)^{9 ≈ 9 x 0.25 x 0.075 ≈ 0.169}

เบอร์นูลลีกับทวินามต่างกันอย่างไร

• การทดลองใช้เบอร์นูลลีเป็นการทดลองสุ่มที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่าง
• การทดลองแบบทวินามคือลำดับการทดลองของ Bernoulli ที่ดำเนินการอย่างอิสระ