Riemann Integral กับ Lebesgue Integral
การบูรณาการเป็นหัวข้อหลักในการคำนวณ ในความหมายที่กว้างกว่านั้น การบูรณาการสามารถถูกมองว่าเป็นกระบวนการที่ตรงกันข้ามกับการสร้างความแตกต่าง เมื่อสร้างแบบจำลองปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง การเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์เป็นเรื่องง่าย ในสถานการณ์เช่นนี้ จำเป็นต้องมีการดำเนินการบูรณาการเพื่อค้นหาฟังก์ชัน ซึ่งให้อนุพันธ์เฉพาะ
จากอีกมุมหนึ่ง การรวมเป็นกระบวนการ ซึ่งสรุปผลคูณของฟังก์ชัน ƒ(x) และ δx โดยที่ δx มีแนวโน้มที่จะมีขีดจำกัด นี่คือเหตุผลที่เราใช้สัญลักษณ์การรวมเป็น ∫ สัญลักษณ์ ∫ อันที่จริงแล้ว สิ่งที่เราได้มาจากการยืดตัวอักษร s เพื่ออ้างถึงผลรวม
รีมันน์อินทิกรัล
พิจารณาฟังก์ชัน y=ƒ(x). อินทิกรัลของ y ระหว่าง a และ b โดยที่ a และ b เป็นของเซต x เขียนเป็น b ∫ a ƒ(x) dx=[F (x)] a → b =F (b) – F (a) นี่เรียกว่าอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันค่าเดียวและต่อเนื่อง y=ƒ(x) ระหว่าง a และ b จะได้พื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง a กับ b สิ่งนี้เรียกว่าอินทิกรัลรีมันน์ อินทิกรัล Riemann ถูกสร้างขึ้นโดย Bernhard Riemann อินทิกรัลรีมันน์ของฟังก์ชันต่อเนื่องจะขึ้นอยู่กับการวัดของจอร์แดน ดังนั้นจึงถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของผลรวมรีมันน์ของฟังก์ชันด้วย สำหรับฟังก์ชันมูลค่าจริงที่กำหนดในช่วงเวลาปิด ปริพันธ์รีมันน์ของฟังก์ชันเทียบกับพาร์ติชั่น x1, x2, …, x n กำหนดบนช่วง [a, b] และ t1, t2, …, t n โดยที่ xi ≤ ti ≤ xi+1 สำหรับ แต่ละ i ε {1, 2, …, n}, ผลรวมของ Riemann ถูกกำหนดเป็น Σi=o ถึง n-1 ƒ(ti)(xi+1 – xi).
Lebesgue อินทิกรัล
Lebesgue เป็นอินทิกรัลอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งครอบคลุมกรณีต่างๆ มากมายกว่าอินทิกรัลของรีมันน์ อินทิกรัล lebesgue ถูกนำมาใช้โดย Henri Lebesgue ในปี 1902 การรวม Legesgue ถือได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของการรวม Riemann
ทำไมเราต้องศึกษาอินทิกรัลอื่น
ให้เราพิจารณาฟังก์ชันคุณลักษณะ ƒA (x)={0 ถ้า x ไม่ใช่ ε A1 ถ้า x ε Aในเซต A จากนั้น การรวมเชิงเส้นที่จำกัดของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ซึ่งถูกกำหนดเป็น F (x)=Σ ai ƒ E i(x) เรียกว่าฟังก์ชันง่าย ๆ ถ้า E i สามารถวัดได้สำหรับแต่ละ i อินทิกรัล Lebesgue ของ F (x) ส่วน E เขียนแทนด้วย E∫ ƒ(x)dx ฟังก์ชัน F (x) ไม่สามารถรวมรีมันน์ได้ ดังนั้นอินทิกรัล Lebesgue จึงใช้ถ้อยคำใหม่ว่าอินทิกรัล Riemann ซึ่งมีข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกัน
ความแตกต่างระหว่าง Riemann Integral และ Lebesgue Integral คืออะไร
· อินทิกรัล Lebesgue เป็นรูปแบบทั่วไปของอินทิกรัลรีมันน์
· อินทิกรัล Lebesgue ยอมให้มีความไม่ต่อเนื่องที่นับได้ ในขณะที่อินทิกรัล Riemann อนุญาตให้มีความไม่ต่อเนื่องจำนวนจำกัด