สมการเชิงเส้นเทียบกับสมการไม่เชิงเส้น
ในวิชาคณิตศาสตร์ สมการพีชคณิตคือสมการ ซึ่งสร้างโดยใช้พหุนาม เมื่อเขียนอย่างชัดแจ้ง สมการจะอยู่ในรูปแบบ P(x)=0 โดยที่ x เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว และ P คือพหุนาม ตัวอย่างเช่น P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 เป็นสมการพีชคณิตในสองตัวแปรที่เขียนไว้อย่างชัดเจน. นอกจากนี้ (x+y)3 =3x2y – 3zy4 เป็นสมการพีชคณิต แต่ในรูปแบบโดยนัยและจะอยู่ในรูปแบบ Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0 เมื่อเขียนอย่างชัดเจนแล้ว
ลักษณะสำคัญของสมการพีชคณิตคือดีกรีของมัน มันถูกกำหนดให้เป็นกำลังสูงสุดของเงื่อนไขที่เกิดขึ้นในสมการ หากพจน์ประกอบด้วยตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวจะถูกนำมาเป็นกำลังของพจน์นั้น สังเกตว่าตามคำจำกัดความนี้ P(x, y)=0 คือระดับ 5 ในขณะที่ Q(x, y, z)=0 คือระดับ 5.
สมการเชิงเส้นและสมการไม่เชิงเส้นเป็นสองพาร์ติชันที่กำหนดไว้ในชุดของสมการพีชคณิต ดีกรีของสมการคือปัจจัยที่ทำให้พวกมันแยกจากกัน
สมการเชิงเส้นคืออะไร
สมการเชิงเส้นคือสมการพีชคณิตของดีกรี 1 ตัวอย่างเช่น 4x + 5=0 เป็นสมการเชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งตัว x + y + 5z=0 และ 4x=3w + 5y + 7z เป็นสมการเชิงเส้นของตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นของตัวแปร n จะอยู่ในรูปแบบ m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =ข.ในที่นี้ xis คือตัวแปรที่ไม่รู้จัก mis และ b เป็นจำนวนจริงที่แต่ละ mi ไม่ใช่ศูนย์
สมการดังกล่าวแสดงถึงไฮเปอร์ระนาบในปริภูมิแบบยูคลิดที่มีมิติ n โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการเชิงเส้นสองตัวแปรแทนเส้นตรงในระนาบคาร์ทีเซียน และสมการเชิงเส้นตัวแปรสามตัวแปรแทนระนาบบนช่องว่าง 3 แบบแบบยุคลิด
สมการไม่เชิงเส้นคืออะไร
สมการกำลังสองคือสมการพีชคณิตซึ่งไม่เชิงเส้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการไม่เชิงเส้นคือสมการพีชคณิตระดับ 2 หรือสูงกว่า x2 + 3x + 2=0 เป็นสมการไม่เชิงเส้นตัวแปรเดียว x2 + y3+ 3xy=4 และ 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 คือตัวอย่างสมการไม่เชิงเส้นของตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ
สมการไม่เชิงเส้นระดับที่สองเรียกว่าสมการกำลังสอง ถ้าดีกรีเป็น 3 จะเรียกว่าสมการลูกบาศก์สมการดีกรี 4 และดีกรี 5 เรียกว่าสมการควอร์ติกและควินติกตามลำดับ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีทางวิเคราะห์เพื่อแก้สมการไม่เชิงเส้นของดีกรี 5 ได้ และนี่ก็เป็นความจริงสำหรับดีกรีที่สูงกว่าใดๆ ด้วย สมการไม่เชิงเส้นที่แก้ได้แสดงถึงพื้นผิวไฮเปอร์ที่ไม่ใช่ระนาบไฮเปอร์
สมการเชิงเส้นกับสมการไม่เชิงเส้นต่างกันอย่างไร
• สมการเชิงเส้นคือสมการพีชคณิตของดีกรี 1 แต่สมการไม่เชิงเส้นคือสมการพีชคณิตที่มีดีกรี 2 หรือสูงกว่า
• แม้ว่าสมการเชิงเส้นใดๆ จะแก้ได้ในเชิงวิเคราะห์ แต่ก็ไม่ใช่กรณีในสมการไม่เชิงเส้น
• ในสเปซยูคลิดมิติ n พื้นที่คำตอบของสมการเชิงเส้นตัวแปร n คือระนาบไฮเปอร์ ในขณะที่สมการไม่เชิงเส้นของตัวแปร n คือพื้นผิวไฮเปอร์ ซึ่งไม่ใช่ระนาบไฮเปอร์ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นผิวลูกบาศก์ และอื่นๆ)