ลาปลาซ vs การแปลงฟูริเยร์
ทั้งการแปลงลาปลาซและการแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลงอินทิกรัล ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาระบบทางกายภาพที่สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ กระบวนการนี้ง่าย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนจะถูกแปลงเป็นแบบจำลองที่แก้ไขได้ง่ายกว่าโดยใช้การแปลงแบบอินทิกรัล เมื่อโมเดลที่ง่ายกว่าได้รับการแก้ไขแล้ว การแปลงอินทิกรัลอินเวิร์สจะถูกนำไปใช้ ซึ่งจะให้คำตอบกับโมเดลดั้งเดิม
ตัวอย่างเช่น เนื่องจากระบบทางกายภาพส่วนใหญ่ส่งผลให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์ ระบบจึงสามารถแปลงเป็นสมการพีชคณิตหรือสมการเชิงอนุพันธ์ที่แก้ได้ง่ายในระดับที่ต่ำกว่าโดยใช้การแปลงอินทิกรัล แล้วการแก้ปัญหาจะง่ายขึ้น
การแปลงร่าง Laplace คืออะไร
จากฟังก์ชัน f (t) ของตัวแปรจริง t การแปลง Laplace ถูกกำหนดโดยอินทิกรัล [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (เมื่อใดก็ตามที่มีอยู่) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน s มันมักจะเขียนแทนด้วย L { f (t)} การแปลง Laplace ผกผันของฟังก์ชัน F (s) ถือเป็นฟังก์ชัน f (t) ในลักษณะที่ L { f (t)}=F (s) และในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ปกติที่เราเขียน L-1{ F (s)}=f (t). การแปลงผกผันสามารถทำให้ไม่ซ้ำกันหากไม่อนุญาตให้ใช้ฟังก์ชัน null เราสามารถระบุสองตัวนี้เป็นโอเปอเรเตอร์เชิงเส้นที่กำหนดไว้ในพื้นที่ฟังก์ชัน และยังเห็นได้ง่ายอีกด้วย L -1{ L { f (t)}}=f (t), หากไม่อนุญาตให้ใช้ฟังก์ชัน null
ตารางต่อไปนี้แสดงรายการการแปลง Laplace ของฟังก์ชันทั่วไปบางส่วน
การแปลงฟูริเยร์คืออะไร
จากฟังก์ชัน f (t) ของตัวแปรจริง t การแปลง Laplace ถูกกำหนดโดยอินทิกรัล [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (เมื่อใดก็ตามที่มีอยู่) และมักจะเขียนแทนด้วย F { f (ท)}. การแปลงผกผัน F -1{ F (α)} ถูกกำหนดโดยอินทิกรัล [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. การแปลงฟูริเยร์ยังเป็นเส้นตรงด้วย และถือได้ว่าเป็นโอเปอเรเตอร์ที่กำหนดไว้ในพื้นที่ฟังก์ชัน
การใช้การแปลงฟูริเยร์ ฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถเขียนได้ดังนี้ โดยที่ฟังก์ชันมีจำนวนความไม่ต่อเนื่องจำกัดเท่านั้นและสามารถรวมเข้าด้วยกันได้อย่างสมบูรณ์
ลาปลาซและการแปลงฟูริเยร์ต่างกันอย่างไร
- การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน f (t) ถูกกำหนดเป็น [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] ในขณะที่ laplace transform ถูกกำหนดให้เป็น [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- การแปลงฟูริเยร์ถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดเท่านั้น ในขณะที่การแปลง Laplace ไม่ต้องการฟังก์ชันที่จะกำหนดบนเซตจำนวนจริงเชิงลบ
- การแปลงฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษของการแปลงลาปลาซ จะเห็นได้ว่าทั้งสองตรงกันสำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ (เช่น เอา s ใน Laplace มาเป็น iα + β โดยที่ α และ β เป็นของจริงจน e β=1/ √(2ᴫ))
- ทุกฟังก์ชันที่มีการแปลงฟูริเยร์จะมีการแปลง Laplace แต่ไม่กลับกัน