เชื่อมโยง vs สับเปลี่ยน
ในชีวิตประจำวันของเรา เราต้องใช้ตัวเลขทุกครั้งที่ต้องการวัดอะไรบางอย่าง ที่ร้านขายของชำ ที่ปั๊มน้ำมัน และแม้แต่ในครัว เราจำเป็นต้องบวก ลบ และคูณปริมาณตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไป จากการปฏิบัติของเรา เราทำการคำนวณเหล่านี้ได้ค่อนข้างง่าย เราไม่เคยสังเกตหรือตั้งคำถามว่าเหตุใดเราจึงดำเนินการในลักษณะนี้โดยเฉพาะ หรือเหตุใดการคำนวณเหล่านี้จึงไม่สามารถทำได้ในลักษณะที่ต่างออกไป คำตอบซ่อนอยู่ในวิธีกำหนดการดำเนินการเหล่านี้ในช่องคณิตศาสตร์ของพีชคณิต
ในพีชคณิต การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับสองปริมาณ (เช่น การบวก) ถูกกำหนดให้เป็นการดำเนินการแบบไบนารีที่แม่นยำกว่านั้นคือการดำเนินการระหว่างสององค์ประกอบจากเซตและองค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่า 'ตัวถูกดำเนินการ' การดำเนินการหลายอย่างในวิชาคณิตศาสตร์รวมถึงการดำเนินการเลขคณิตที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้และการดำเนินการที่พบในทฤษฎีเซต พีชคณิตเชิงเส้น และตรรกะทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นการดำเนินการไบนารีได้
มีชุดของกฎการควบคุมที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการไบนารีเฉพาะ แอสโซซิเอทีฟและคุณสมบัติสับเปลี่ยนเป็นคุณสมบัติพื้นฐานสองประการของการดำเนินการไบนารี
เพิ่มเติมเกี่ยวกับพร็อพเพอร์ตี้สับเปลี่ยน
สมมติว่าการดำเนินการไบนารีบางตัวแสดงด้วยสัญลักษณ์ ⊗ ถูกดำเนินการบนองค์ประกอบ A และ B ถ้าลำดับของตัวถูกดำเนินการไม่มีผลกับผลลัพธ์ของการดำเนินการ การดำเนินการนั้นเรียกว่าสับเปลี่ยน เช่น ถ้า A ⊗ B=B ⊗ A การดำเนินการจะเป็นการสับเปลี่ยน
การบวกและการคูณเลขคณิตเป็นการสับเปลี่ยน ลำดับของตัวเลขที่รวมกันหรือคูณกันไม่มีผลกับคำตอบสุดท้าย:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
แต่ในกรณีของการหารเปลี่ยนลำดับให้ผลกลับของอีกฝ่าย และในการลบการเปลี่ยนแปลงจะให้ค่าลบของอีกฝ่าย ดังนั้น
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 และ 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 และ 5 ÷ 4=1.25 [ในกรณีนี้ A, B ≠ 1 และ 0]
อันที่จริงแล้ว การลบนั้นบอกว่าเป็นการลบล้าง โดยที่ A – B=– (B – A).
นอกจากนี้ การเชื่อมต่อเชิงตรรกะ คำสันธาน การแตกแยก ความหมาย และความเท่าเทียมกัน ยังเป็นสับเปลี่ยนอีกด้วย ฟังก์ชันความจริงก็สลับสับเปลี่ยนได้เช่นกัน ชุดปฏิบัติการยูเนี่ยนและทางแยกเป็นการสับเปลี่ยน การบวกและผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ก็สลับกันได้
แต่การลบเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน (ผลคูณของเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวนั้นต่อต้านการสับเปลี่ยน) การบวกเมทริกซ์เป็นการสับเปลี่ยน แต่การคูณและการลบไม่ใช่การสับเปลี่ยน(การคูณเมทริกซ์สองตัวสามารถสับเปลี่ยนได้ในกรณีพิเศษ เช่น การคูณเมทริกซ์ด้วยการผกผันหรือเมทริกซ์เอกลักษณ์ แต่แน่นอนว่าเมทริกซ์จะไม่สลับสับเปลี่ยนหากเมทริกซ์มีขนาดไม่เท่ากัน)
เพิ่มเติมเกี่ยวกับทรัพย์สินร่วม
การดำเนินการแบบไบนารีกล่าวว่าเป็นการเชื่อมโยงกันหากลำดับการดำเนินการไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์เมื่อมีโอเปอเรเตอร์สองรายการขึ้นไป พิจารณาองค์ประกอบ A, B และ C และการดำเนินการไบนารี ⊗. การดำเนินการ ⊗ ถูกกล่าวว่าเชื่อมโยงกันถ้า
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
จากฟังก์ชันเลขคณิตพื้นฐาน การบวกและการคูณเท่านั้นที่เชื่อมโยงกัน
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
การลบและการหารไม่สัมพันธ์กัน
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 และ (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 และ (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
การแยกคอนเนทีฟเชิงตรรกะ คอนเนกทีฟ และการสมมูลเป็นการเชื่อมโยง เช่นเดียวกับชุดปฏิบัติการและทางแยกที่กำหนด การบวกเมทริกซ์และเวกเตอร์เป็นการเชื่อมโยงกัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นสัมพันธ์กัน แต่ผลคูณของเวกเตอร์ไม่ใช่ การคูณเมทริกซ์จะเชื่อมโยงกันในกรณีพิเศษเท่านั้น
สมบัติการสับเปลี่ยนและสมบัติเชื่อมโยงต่างกันอย่างไร
• ทั้งสมบัติที่เชื่อมโยงและสมบัติการสับเปลี่ยนเป็นคุณสมบัติพิเศษของการดำเนินการไบนารี และบางคุณสมบัติก็เป็นไปตามนั้นและบางคุณสมบัติไม่เป็นไปตามนั้น
• คุณสมบัติเหล่านี้สามารถเห็นได้ในหลายรูปแบบของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตและการดำเนินการเลขฐานสองอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น การแยกและการรวมตัวในทฤษฎีเซตหรือการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ
• ความแตกต่างระหว่างการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงคือคุณสมบัติการสับเปลี่ยนระบุว่าลำดับขององค์ประกอบไม่เปลี่ยนผลลัพธ์สุดท้ายในขณะที่คุณสมบัติเชื่อมโยงระบุว่าลำดับการดำเนินการไม่ส่งผลกระทบต่อคำตอบสุดท้าย.