ความสัมพันธ์เทียบกับฟังก์ชัน
ตั้งแต่วิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมเป็นต้นไป ฟังก์ชันจะกลายเป็นคำศัพท์ทั่วไป แม้ว่าจะมีการใช้ค่อนข้างบ่อย แต่ก็ถูกใช้โดยไม่เข้าใจความหมายและการตีความอย่างเหมาะสม บทความนี้เน้นที่การอธิบายลักษณะเหล่านั้นของฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์คือการเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบของสองชุด ในการตั้งค่าที่เป็นทางการมากขึ้น สามารถอธิบายได้ว่าเป็นส่วนย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของสองชุด X และ Y ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของ X และ Y แสดงเป็น X×Y เป็นชุดของคู่ลำดับที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจากทั้งสองชุด มักแสดงเป็น (x, y) ชุดไม่ต้องต่างกันตัวอย่างเช่น เซตย่อยขององค์ประกอบจาก A×A เรียกว่าความสัมพันธ์บน A
ฟังก์ชั่น
ฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์แบบพิเศษ ความสัมพันธ์แบบพิเศษนี้อธิบายว่าองค์ประกอบหนึ่งถูกแมปกับองค์ประกอบอื่นในชุดอื่นหรือชุดเดียวกันอย่างไร สำหรับความสัมพันธ์ที่จะเป็นฟังก์ชัน ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดเฉพาะสองข้อ
ทุกองค์ประกอบของชุดที่เริ่มการแมปแต่ละครั้งต้องมีองค์ประกอบที่เชื่อมโยง/เชื่อมโยงในชุดอื่น
องค์ประกอบในชุดที่เริ่มการแมปสามารถเชื่อมโยง/เชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวและเพียงหนึ่งองค์ประกอบในอีกชุดหนึ่ง
เซ็ตที่ความสัมพันธ์ถูกแมปเรียกว่าโดเมน ชุดที่เชื่อมโยงความสัมพันธ์เรียกว่าโคโดเมน เซตย่อยของอิลิเมนต์ในโคโดเมนที่มีเฉพาะอิลิเมนต์ที่เชื่อมโยงกับความสัมพันธ์นั้นเรียกว่าเรนจ์
ในทางเทคนิค ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ระหว่างสองชุด โดยแต่ละองค์ประกอบในชุดหนึ่งจะจับคู่กับองค์ประกอบในอีกชุดหนึ่งอย่างไม่ซ้ำกัน
สังเกตสิ่งต่อไปนี้
- ทุกองค์ประกอบในโดเมนถูกแมปเข้ากับโคโดเมน
- องค์ประกอบหลายอย่างของโดเมนเชื่อมต่อกับค่าเดียวกันในโคโดเมน แต่องค์ประกอบเดียวจากโดเมนไม่สามารถเชื่อมต่อกับองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งของโคโดเมน (การทำแผนที่ต้องไม่ซ้ำกัน)
- ถ้าทุกองค์ประกอบของโดเมนถูกแมปเป็นองค์ประกอบที่แตกต่างและไม่เหมือนใครในโคโดเมน ฟังก์ชันดังกล่าวจะเรียกว่าฟังก์ชัน "หนึ่งต่อหนึ่ง"
Codomain มีองค์ประกอบอื่นที่ไม่ใช่องค์ประกอบที่เชื่อมต่อกับองค์ประกอบของโดเมน เรนจ์ไม่จำเป็นต้องเป็นโคโดเมน ถ้าโคโดเมนมีค่าเท่ากับช่วง ฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชัน "onto"
เมื่อค่าที่ฟังก์ชันหาได้นั้นเป็นของจริง จะเรียกว่าฟังก์ชันจริง องค์ประกอบของโคโดเมนและโดเมนเป็นจำนวนจริง
ฟังก์ชันจะแสดงโดยใช้ตัวแปรเสมอ องค์ประกอบของโคโดเมนแสดงด้วยสัญลักษณ์โดยตัวแปร สัญกรณ์ f(x) แสดงถึงองค์ประกอบของช่วง ความสัมพันธ์สามารถแสดงได้โดยใช้นิพจน์ในรูปแบบ f(x)=x^2 มันบอกว่าองค์ประกอบของโดเมนถูกแมปเข้ากับกำลังสองขององค์ประกอบ ภายในโคโดเมน
ฟังก์ชันและความสัมพันธ์ต่างกันอย่างไร
• ฟังก์ชั่นเป็นความสัมพันธ์แบบพิเศษ
• ความสัมพันธ์ขึ้นอยู่กับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของสองชุด
• ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์กับคุณสมบัติเฉพาะ
• โดเมนของฟังก์ชันต้องถูกแมปเข้ากับโคโดเมน โดยที่แต่ละองค์ประกอบมีค่าที่สอดคล้องกันและถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงในโคโดเมน ความสัมพันธ์สามารถเชื่อมโยงองค์ประกอบเดียวกับหลายค่าได้