อนุพันธ์เทียบกับดิฟเฟอเรนเชียล
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ อนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันมีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดแต่มีความหมายต่างกันมาก และใช้เพื่อแทนวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญสองชิ้นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล
อนุพันธ์คืออะไร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันวัดอัตราที่ค่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเมื่ออินพุตเปลี่ยนแปลง ในฟังก์ชันหลายตัวแปร การเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงค่าของตัวแปรอิสระ ดังนั้น ในกรณีเช่นนี้ ทิศทางเฉพาะจะถูกเลือกและฟังก์ชันจะแตกต่างไปในทิศทางนั้นอนุพันธ์นั้นเรียกว่าอนุพันธ์เชิงทิศทาง อนุพันธ์บางส่วนเป็นอนุพันธ์แบบทิศทางพิเศษ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ f สามารถกำหนดเป็นขีดจำกัด [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] ไม่ว่ามันจะอยู่ที่ไหนก็ตาม ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ สิ่งนี้ทำให้เรามีอัตราการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f ตามทิศทางของเวกเตอร์ u ในกรณีของฟังก์ชันค่าเดียว ค่านี้จะลดเหลือคำจำกัดความที่รู้จักกันดีของอนุพันธ์ [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
ตัวอย่างเช่น [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ และอนุพันธ์จะเท่ากับขีดจำกัด [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex] ซึ่งก็คือ เท่ากับ [latex]3x^{2}+4[/latex] อนุพันธ์ของฟังก์ชันเช่น [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] มีอยู่ทุกที่ พวกมันจะเท่ากับฟังก์ชัน [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] ตามลำดับ
นี่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง โดยปกติอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน f จะแสดงด้วย f (1) ตอนนี้ใช้สัญกรณ์นี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดอนุพันธ์อันดับสูงกว่า [น้ำยาง]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] เป็นอนุพันธ์อันดับสองของทิศทาง และแสดงถึง n th derivative โดย f (n) สำหรับแต่ละ n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex] กำหนดอนุพันธ์ n th อนุพันธ์
ส่วนต่างคืออะไร
ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระหรือตัวแปร ในสัญกรณ์ปกติ สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด f ของตัวแปรเดียว x ค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของคำสั่ง 1 df ถูกกำหนดโดย [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] ซึ่งหมายความว่าสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน x (เช่น d x) จะมีการเปลี่ยนแปลง f (1)(x)d x การเปลี่ยนแปลงใน f
การใช้ขีดจำกัดหนึ่งสามารถลงเอยด้วยคำจำกัดความนี้ได้ดังนี้ สมมติว่า ∆ x คือการเปลี่ยนแปลงของ x ที่จุดใดจุดหนึ่ง x และ ∆ f คือการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในฟังก์ชัน f สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ โดยที่ ϵ คือข้อผิดพลาด ตอนนี้ ขีดจำกัด ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (โดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้) และด้วยเหตุนี้ ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0 ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ สรุปได้ว่า ∆ x→ 0 ϵ=0 ทีนี้ แสดงว่า ∆ x→ 0 ∆ f เป็น d f และ ∆ x→ 0 ∆ x เป็น d x นิยามของดิฟเฟอเรนเชียลได้มาอย่างเข้มงวด
ตัวอย่างเช่น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] คือ [latex](3x^{2}+4)dx[/น้ำยาง].
ในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชันถูกกำหนดเป็นผลรวมของดิฟเฟอเรนเชียลในทิศทางของตัวแปรอิสระแต่ละตัว ในทางคณิตศาสตร์ สามารถระบุได้เป็น [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
อนุพันธ์กับดิฟเฟอเรนเชียลต่างกันอย่างไร
• อนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในขณะที่ส่วนต่างหมายถึงการเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงของฟังก์ชัน เมื่อตัวแปรอิสระอาจมีการเปลี่ยนแปลง
• อนุพันธ์ถูกกำหนดโดย [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex] แต่ส่วนต่างกำหนดโดย [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].