ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นเทียบกับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น แนวคิดนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก และมักใช้ในชีวิตประจำวันเมื่อเราประเมินโอกาส ธุรกรรมของเรา และสิ่งอื่น ๆ อีกมากมาย การขยายแนวคิดง่ายๆ นี้ไปยังชุดกิจกรรมที่ใหญ่ขึ้นนั้นท้าทายกว่าเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น เราไม่สามารถหาโอกาสถูกลอตเตอรีได้ง่ายๆ แต่สะดวก ค่อนข้างเป็นธรรมชาติที่จะบอกว่ามีความเป็นไปได้ที่หนึ่งในหกที่เราจะถูกโยนลูกเต๋าที่หก
เมื่อจำนวนเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้เพิ่มขึ้น หรือจำนวนของความเป็นไปได้แต่ละรายการมีมาก แนวคิดง่ายๆ เกี่ยวกับความน่าจะเป็นนี้จะล้มเหลว ดังนั้นจึงต้องมีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนก่อนที่จะแก้ปัญหาที่มีความซับซ้อนสูง
เมื่อจำนวนเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในสถานการณ์เดียวมีจำนวนมาก เป็นไปไม่ได้ที่จะพิจารณาแต่ละเหตุการณ์เป็นรายบุคคลเหมือนกับในตัวอย่างของการโยนลูกเต๋า ดังนั้นทั้งชุดของเหตุการณ์จึงสรุปได้โดยการแนะนำแนวคิดของตัวแปรสุ่ม เป็นตัวแปรที่สามารถสมมติค่าของเหตุการณ์ต่างๆ ในสถานการณ์นั้นๆ (หรือพื้นที่ตัวอย่าง) มันให้ความรู้สึกทางคณิตศาสตร์กับเหตุการณ์ง่ายๆ ในสถานการณ์ และวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการจัดการกับเหตุการณ์ อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันค่าจริงเหนือองค์ประกอบของพื้นที่ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่มสามารถเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องก็ได้ ปกติจะเขียนแทนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรภาษาอังกฤษ
ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น (หรือเรียกง่ายๆ ว่า การแจกแจงความน่าจะเป็น) เป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละเหตุการณ์ กล่าวคือมีความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นของค่าที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นถูกกำหนดไว้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเทียบเท่ากับฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ให้โอกาสที่ตัวแปรสุ่มบางตัวสามารถรับค่าบางอย่างได้
ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันที่กำหนดเป็น f (x)=P (X=x) สำหรับแต่ละ x ภายในช่วงของ X จะเรียกว่าฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น ฟังก์ชันสามารถใช้เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้เท่านั้น
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
ฟังก์ชัน f (x) ที่กำหนดไว้ในชุดของจำนวนจริงเรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง X ถ้าหากว่า
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx สำหรับค่าคงที่จริงใดๆ a และ b.
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นควรเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ด้วย
1. f (x) ≥ 0 สำหรับ x ทั้งหมด: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞ f (x) dx=1
ทั้งฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นและฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นถูกใช้เพื่อแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นบนพื้นที่ตัวอย่าง โดยทั่วไป สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น
สำหรับการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมาตรฐานและฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นจะได้รับ การแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานเป็นตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง การแจกแจงทวินามและการแจกแจงปัวซองเป็นตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง
ความแตกต่างระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็นและฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคืออะไร
• ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นและฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคือฟังก์ชันที่กำหนดไว้เหนือพื้นที่ตัวอย่าง เพื่อกำหนดค่าความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องให้กับแต่ละองค์ประกอบ
• ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นถูกกำหนดไว้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ในขณะที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นถูกกำหนดไว้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง
• การแจกแจงค่าความน่าจะเป็น (เช่น การแจกแจงความน่าจะเป็น) จะแสดงให้เห็นได้ดีที่สุดโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น
• ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถแสดงเป็นค่าในตารางได้ แต่นั่นเป็นไปไม่ได้สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเพราะตัวแปรเป็นแบบต่อเนื่อง
• เมื่อพล็อต ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นจะให้พล็อตแท่งในขณะที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะให้เส้นโค้ง
• ความสูง/ความยาวของแท่งของฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นต้องบวกเป็น 1 ในขณะที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นต้องบวกกับ 1.
• ในทั้งสองกรณี ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันจะต้องไม่เป็นค่าลบ