ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างจุดคงที่และจุดสมดุลคือจุดคงที่นั้นมีประโยชน์ในการค้นหาสถานะคงตัวของระบบ ในขณะที่จุดสมดุลคือสถานะที่ระบบไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตัวแปรระบบเปลี่ยนไป
จุดคงที่และจุดสมดุลเป็นคำศัพท์ที่มีประโยชน์ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อระบุสภาวะคงตัวของระบบทางกายภาพที่ต้องการ
จุดคงที่คืออะไร
จุดคงที่ของฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์คือองค์ประกอบของโดเมนของฟังก์ชันนั้นที่สามารถจับคู่กับตัวเองผ่านฟังก์ชันได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง “c” เป็นจุดคงที่ของฟังก์ชัน “f” เมื่อ f(c)=cซึ่งเรียกอีกอย่างว่า fixpoint หรือ invariant point ดังนั้น f(f(…f(c)…))=f(c)=c ซึ่งเป็นข้อกังวลสำคัญในการยุติเกี่ยวกับการคำนวณซ้ำ “f” เราสามารถตั้งชื่อชุดจุดคงที่เป็นชุดคงที่
ให้เราพิจารณาตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์นี้ หากเราเอา f เป็นจำนวนจริงโดย f(x)=x2 – 3x +4 แล้ว 2 คือจุดคงที่ของ “f” เพราะ f(2)=2 อย่างไรก็ตาม, ทุกฟังก์ชันไม่มีจุดตายตัว เช่น. เมื่อ f(x)=x + 1 ไม่มีจุดตายตัวเพราะ "x" ไม่เคยเท่ากับ "x +1" สำหรับจำนวนจริงใดๆ เมื่อพิจารณาคำศัพท์แบบกราฟิก จุดคงที่ “x” หมายถึงจุด (x, f(x)) ซึ่งอยู่บนเส้น y=x กล่าวอีกนัยหนึ่ง กราฟของ “f” มีจุดที่เหมือนกันกับเส้นนั้น
จุดคงที่คือจุดที่มีระยะเวลาเท่ากับหนึ่ง เมื่อพิจารณาจากเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟแล้ว จุดคงที่ของการฉายภาพจะถูกตั้งชื่อเป็นจุดคู่ ตามทฤษฎีของ Galois ชุดของจุดคงที่ของชุดของฟิลด์ automorphisms ถูกตั้งชื่อเป็นฟิลด์คงที่ของชุด automorphisms นั้น
มีการใช้งานจุดคงที่ที่แตกต่างกัน รวมถึงเศรษฐศาสตร์ ฟิสิกส์ คอมไพเลอร์ภาษาโปรแกรม ทฤษฎีประเภท เวกเตอร์บนค่า PageRank ของหน้าเว็บทั้งหมด การกระจายแบบคงที่ของห่วงโซ่ Markov เป็นต้น
จุดสมดุลคืออะไร
จุดสมดุลคือคำตอบคงที่ของสมการอื่นในวิชาคณิตศาสตร์ เทอมนี้ส่วนใหญ่อยู่ภายใต้สมการเชิงอนุพันธ์ในวิชาคณิตศาสตร์เราสามารถจำแนกดุลยภาพได้โดยการสังเกตเครื่องหมายของค่าลักษณะเฉพาะของการทำให้เป็นเส้นตรงของสมการเกี่ยวกับดุลยภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถจัดหมวดหมู่ดุลยภาพโดยการประเมินเมทริกซ์จาโคเบียนที่จุดสมดุลของระบบที่ต้องการ ตามด้วยการหาค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์ ที่นั่น เราสามารถกำหนดพฤติกรรมของระบบในบริเวณใกล้เคียงกับจุดสมดุลในเชิงปริมาณโดยการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะ
เราสามารถพูดได้ว่าจุดสมดุลเป็นไฮเปอร์โบลิกเมื่อค่าลักษณะเฉพาะไม่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม หากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีส่วนจริงเชิงลบ ดุลยภาพจะกลายเป็นสมการที่เสถียร ในทำนองเดียวกัน หากมีส่วนจริงที่เป็นบวก ดุลยภาพจะไม่เสถียร ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งส่วนจริงเชิงลบและอย่างน้อยหนึ่งส่วนจริงที่เป็นบวกในค่าลักษณะเฉพาะ สมดุลจะได้จุดอาน
ความคล้ายคลึงกันระหว่างจุดคงที่และจุดสมดุลคืออะไร
- คะแนนเหล่านี้อาจไม่คงที่
- อธิบายทั้งสองจุดสำหรับสภาวะคงตัวของระบบ
จุดคงที่และจุดสมดุลต่างกันอย่างไร
คำว่าจุดคงที่และจุดสมดุลใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างจุดคงที่และจุดสมดุลคือ จุดคงที่นั้นมีประโยชน์ในการค้นหาสถานะคงตัวของระบบ ในขณะที่จุดสมดุลคือสถานะที่ระบบไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตัวแปรระบบเปลี่ยนไป
สรุป – จุดคงที่เทียบกับจุดสมดุล
จุดคงที่และจุดสมดุลเป็นคำศัพท์ที่มีประโยชน์ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อระบุสภาวะคงตัวของระบบทางกายภาพที่ต้องการ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างจุดคงที่และจุดสมดุลคือ จุดคงที่นั้นมีประโยชน์ในการค้นหาสถานะคงตัวของระบบ ในขณะที่จุดสมดุลคือสถานะที่ระบบไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตัวแปรระบบเปลี่ยนไป