ความแตกต่างระหว่างการบูรณาการและความแตกต่าง

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 13:51

บูรณาการกับความแตกต่าง

การบูรณาการและการสร้างความแตกต่างเป็นแนวคิดพื้นฐานสองประการในแคลคูลัส ซึ่งศึกษาการเปลี่ยนแปลง แคลคูลัสมีการใช้งานที่หลากหลายในหลายสาขา เช่น วิทยาศาสตร์ เศรษฐกิจหรือการเงิน วิศวกรรมศาสตร์ และอื่นๆ

ความแตกต่าง

ความแตกต่างคือขั้นตอนเกี่ยวกับพีชคณิตในการคำนวณอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือความชันหรือความชันของเส้นโค้ง (กราฟ) ที่จุดใดก็ตาม การไล่ระดับสีของเส้นโค้งที่จุดใดก็ตามเป็นการไล่ระดับสีของเส้นสัมผัสที่ลากไปยังเส้นโค้งนั้นที่จุดที่กำหนด สำหรับเส้นโค้งที่ไม่ใช่เชิงเส้น ความลาดชันของเส้นโค้งอาจแตกต่างกันไปตามจุดต่างๆ ตามแนวแกนดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณความชันหรือความชัน ณ จุดใดๆ กระบวนการสร้างความแตกต่างมีประโยชน์ในการคำนวณความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ

คำจำกัดความของอนุพันธ์อีกอย่างหนึ่งคือ “การเปลี่ยนแปลงทรัพย์สินที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงหน่วยของทรัพย์สินอื่น”

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x หากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย (∆x) เกิดขึ้นในตัวแปรอิสระ x การเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกัน ∆f(x) จะเกิดในฟังก์ชัน f(x); จากนั้นอัตราส่วน ∆f(x)/∆x คือการวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทียบกับ x ค่าลิมิตของอัตราส่วนนี้ เนื่องจาก ∆x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ lim_{∆x→0(f(x)/∆x) เรียกว่าอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน f(x), เกี่ยวกับ x; กล่าวอีกนัยหนึ่งการเปลี่ยนแปลงทันทีของ f(x) ณ จุดที่กำหนด x.}

บูรณาการ

การบูรณาการเป็นกระบวนการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนหรืออินทิกรัลไม่ จำกัด สำหรับฟังก์ชันจริง f(x) และช่วงปิด [a, b] บนเส้นจริง อินทิกรัลที่แน่นอน _a∫^{b f(x) หมายถึงพื้นที่ระหว่างกราฟของฟังก์ชัน แกนนอน และเส้นแนวตั้งสองเส้นที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาเมื่อไม่ได้กำหนดช่วงเฉพาะ จะเรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัด อินทิกรัลที่แน่นอนสามารถคำนวณได้โดยใช้แอนติ-อนุพันธ์}

การบูรณาการและการสร้างความแตกต่างคืออะไร

ความแตกต่างระหว่างการบูรณาการและการสร้างความแตกต่างเป็นเหมือนความแตกต่างระหว่าง "กำลังสอง" และ "การหารากที่สอง" หากเรายกกำลังสองจำนวนบวกแล้วหารากที่สองของผลลัพธ์ ค่ารากที่สองที่เป็นบวกจะเป็นตัวเลขที่คุณยกกำลังสอง ในทำนองเดียวกัน หากคุณใช้การผสานรวมกับผลลัพธ์ ที่คุณได้รับจากการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ก็จะนำกลับไปยังฟังก์ชันเดิมและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น ให้ F(x) เป็นอินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x)=x ดังนั้น F(x)=∫f(x)dx=(x^{2 /2) + c โดยที่ c คือค่าคงที่ใดๆ เมื่อแยกความแตกต่างของ F(x) เทียบกับ x ที่เราได้รับ F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x ดังนั้นอนุพันธ์ของ F(x) จึงเท่ากับ f(x).}

สรุป

– ความแตกต่างคำนวณความชันของเส้นโค้ง ในขณะที่การรวมจะคำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

– การบูรณาการเป็นกระบวนการย้อนกลับของการสร้างความแตกต่างและในทางกลับกัน