อนุพันธ์เทียบกับอินทิกรัล
ความแตกต่างและการบูรณาการเป็นการดำเนินการพื้นฐานสองประการในแคลคูลัส พวกเขามีการใช้งานมากมายในหลายสาขา เช่น คณิตศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และฟิสิกส์ ทั้งอนุพันธ์และปริพันธ์กล่าวถึงพฤติกรรมของฟังก์ชันหรือพฤติกรรมของเอนทิตีทางกายภาพที่เราสนใจ
อนุพันธ์คืออะไร
สมมติว่า y=ƒ(x) และ x0 อยู่ในโดเมนของ ƒ แล้วลิมΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx เรียกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของ ƒ ที่ x0 ให้ขีด จำกัด นี้มีอยู่อย่าง จำกัดลิมิตนี้เรียกอีกอย่างว่าอนุพันธ์ของ at และแสดงด้วย ƒ(x).
ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุดใดจุดหนึ่ง x ในโดเมนของฟังก์ชันถูกกำหนดโดย limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ต่อไปนี้: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรหลายตัว เรากำหนดอนุพันธ์ย่อยบางส่วน อนุพันธ์ย่อยบางส่วนของฟังก์ชันที่มีหลายตัวแปรคืออนุพันธ์เทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง โดยถือว่าตัวแปรอื่นๆ เป็นค่าคงที่ สัญลักษณ์ของอนุพันธ์ย่อยคือ ∂.
ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถตีความได้ว่าเป็นความชันของเส้นโค้งของฟังก์ชัน ƒ(x)
อินทิกรัลคืออะไร
การบูรณาการหรือการต่อต้านความแตกต่างเป็นกระบวนการย้อนกลับของการสร้างความแตกต่าง กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันคือกระบวนการในการค้นหาฟังก์ชันดั้งเดิมเมื่อให้อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังนั้นอินทิกรัลหรือแอนติ-อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ƒ(x) ถ้า ƒ(x)=F (x) สามารถกำหนดเป็นฟังก์ชัน F (x) สำหรับ x ทั้งหมดในโดเมนของ ƒ(x)
นิพจน์ ∫ƒ(x) dx หมายถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ƒ(x) ถ้า ƒ(x)=F (x) ดังนั้น ∫ƒ(x) dx=F (x)+C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ ∫ƒ(x) dx จะถูกเรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน ƒ(x)
สำหรับฟังก์ชันใดๆ ƒ ซึ่งไม่จำเป็นต้องไม่เป็นค่าลบ และกำหนดไว้บนช่วง [a, b], a∫b ƒ(x) dx เรียกว่าอินทิกรัลที่แน่นอน ƒ บน [a, b].
อินทิกรัลจำกัดสิทธิ์ a∫bƒ(x) dx ของฟังก์ชัน ƒ(x) สามารถตีความทางเรขาคณิตเป็นพื้นที่ของ พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ƒ(x) แกน x และเส้น x=a และ x=b.
อนุพันธ์และอินทิกรัลต่างกันอย่างไร
• อนุพันธ์เป็นผลมาจากการสร้างความแตกต่างของกระบวนการ ในขณะที่อินทิกรัลเป็นผลมาจากการรวมกระบวนการ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงถึงความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ ในขณะที่อินทิกรัลแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้ง