ไฮเปอร์โบลากับวงรี
เมื่อโคนถูกตัดเป็นมุมต่างกัน ขอบกรวยจะทำเครื่องหมายส่วนโค้งที่ต่างกัน เส้นโค้งเหล่านี้มักเรียกว่าส่วนรูปกรวย อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ส่วนรูปกรวยคือเส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวรูปกรวยวงกลมด้านขวากับพื้นผิวระนาบ ที่มุมต่าง ๆ ของทางแยก จะมีส่วนรูปกรวยที่แตกต่างกัน
ทั้งไฮเปอร์โบลาและวงรีเป็นส่วนรูปกรวย และความแตกต่างของพวกมันสามารถเปรียบเทียบได้ง่ายในบริบทนี้
เพิ่มเติมเกี่ยวกับวงรี
เมื่อจุดตัดของพื้นผิวรูปกรวยและพื้นผิวระนาบทำให้เกิดเส้นโค้งปิด เรียกว่าวงรี มีความเยื้องศูนย์ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง (0<e<1) นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดเป็นโลคัสของเซตของจุดบนระนาบ โดยที่ผลรวมของระยะทางไปยังจุดจากจุดคงที่สองจุดยังคงที่ จุดคงที่สองจุดนี้เรียกว่า 'จุดโฟกัส' (จำไว้ว่า ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา วงรีจะถูกวาดโดยใช้สตริงที่ผูกติดกับหมุดคงที่สองตัว หรือห่วงสตริงและหมุดสองตัว)
เส้นตรงที่ลากผ่านจุดโฟกัสเรียกว่าแกนหลัก และแกนตั้งฉากกับแกนหลักและผ่านจุดศูนย์กลางของวงรีเรียกว่าแกนรองเส้นผ่านศูนย์กลางตามแต่ละแกนเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางตามขวางและเส้นผ่านศูนย์กลางคอนจูเกตตามลำดับ ครึ่งหนึ่งของแกนหลักเรียกว่ากึ่งแกนหลัก และครึ่งหนึ่งของแกนรองเรียกว่าแกนกึ่งรอง
แต่ละจุด F1 และ F2 เป็นจุดโฟกัสของวงรีและความยาว F1 + PF2 =2a โดยที่ P เป็นจุดใดบนวงรี ความเยื้องศูนย์ e ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนระหว่างระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดใดจุดหนึ่ง (PF 2) และระยะทางตั้งฉากกับจุดใดก็ได้จากไดเรกทริกซ์ (PD) มันยังเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองและกึ่งแกนหลักด้วย: e=PF/PD=f/a
สมการทั่วไปของวงรี เมื่อแกนกึ่งเอกและแกนกึ่งรองตรงกับแกนคาร์ทีเซียน จะได้ดังนี้
x2/a2 + y2/b2=1
เรขาคณิตของวงรีมีหลากหลายการใช้งาน โดยเฉพาะในวิชาฟิสิกส์วงโคจรของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะเป็นวงรีโดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดเดียว รีเฟล็กเตอร์สำหรับเสาอากาศและอุปกรณ์อคูสติกทำขึ้นในรูปทรงวงรีเพื่อใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเปล่งแสงใดๆ จากจุดโฟกัสจะมาบรรจบกันที่จุดโฟกัสอื่น
เพิ่มเติมเกี่ยวกับไฮเปอร์โบลา
ไฮเปอร์โบลายังเป็นส่วนรูปกรวย แต่ปลายเปิดอยู่ คำว่าไฮเปอร์โบลาหมายถึงเส้นโค้งที่ตัดการเชื่อมต่อสองเส้นที่แสดงในรูป แทนที่จะปิดเหมือนวงรีแขนหรือกิ่งของไฮเพอร์โบลาไปต่อที่อนันต์
จุดที่ทั้งสองกิ่งมีระยะห่างระหว่างกันสั้นที่สุดเรียกว่าจุดยอด เส้นที่ผ่านจุดยอดถือเป็นแกนหลักหรือแกนตามขวาง และเป็นหนึ่งในแกนหลักของไฮเพอร์โบลาจุดโฟกัสสองจุดของพาราโบลายังอยู่บนแกนหลักด้วย จุดกึ่งกลางของเส้นตรงระหว่างจุดยอดทั้งสองเป็นจุดศูนย์กลาง และความยาวของส่วนของเส้นตรงคือกึ่งแกนหลัก เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากของกึ่งแกนเอกคือแกนหลักอีกแกน และเส้นโค้งสองเส้นของไฮเพอร์โบลาจะสมมาตรรอบแกนนี้ ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลามีค่ามากกว่าหนึ่ง อี > 1.
ถ้าแกนหลักตรงกับแกนคาร์ทีเซียน สมการทั่วไปของไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในรูปแบบ:
x2/a2 – y2/b2=1,
โดยที่ a คือกึ่งแกนหลัก และ b คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัสทั้งสอง
ไฮเปอร์โบลาที่มีปลายเปิดหันไปทางแกน x เรียกว่าไฮเปอร์โบลาตะวันออก-ตะวันตก สามารถหาไฮเปอร์โบลาที่คล้ายกันบนแกน y ได้เช่นกัน สิ่งเหล่านี้เรียกว่าไฮเปอร์โบลาแกน y สมการของไฮเปอร์โบลาดังกล่าวอยู่ในรูปแบบ
y2/a2 – x2/b2=1
ไฮเปอร์โบลาและวงรีต่างกันอย่างไร
• ทั้งวงรีและไฮเพอร์โบลาเป็นส่วนรูปกรวย แต่วงรีเป็นเส้นโค้งปิด ในขณะที่ไฮเปอร์โบลาประกอบด้วยเส้นโค้งเปิดสองเส้น
• ดังนั้น วงรีจึงมีขอบเขตจำกัด แต่ไฮเปอร์โบลามีความยาวไม่สิ้นสุด
• ทั้งสองมีความสมมาตรรอบแกนหลักและแกนรอง แต่ตำแหน่งของไดเรกทริกซ์จะต่างกันในแต่ละกรณี ในวงรี วางอยู่นอกแกนกึ่งเอก ขณะที่ในไฮเพอร์โบลา จะอยู่ในแกนกึ่งเอก
• ความเบี้ยวของกรวยทั้งสองส่วนต่างกัน
0 <eวงรี < 1
eไฮเปอร์โบลา > 0
• สมการทั่วไปของเส้นโค้งทั้งสองดูเหมือนกันแต่ต่างกัน
• เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของแกนหลักตัดกับเส้นโค้งในวงรี แต่ไม่ใช่ในไฮเพอร์โบลา
(ที่มาของภาพ: Wikipedia)