คาร์ดินัล vs ออร์ดินัล
ในชีวิตประจำวันของเรา การใช้ตัวเลขอาจมีรูปแบบที่แตกต่างกันในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเรานับเพื่อหาขนาดของคอลเลกชั่นของวัตถุ เราจะนับเป็นหนึ่ง สอง สาม และอื่นๆ เมื่อเราต้องการนับบางสิ่งเพื่อให้เข้าใจตำแหน่งของวัตถุ เราจะนับเป็นหนึ่ง สอง สาม และอื่นๆ ในรูปแบบแรกของการนับ ตัวเลขจะเรียกว่าเลขคาร์ดินัล ในรูปแบบการนับที่สอง ตัวเลขถือเป็นเลขลำดับ ในบริบทนี้ แนวคิดเรื่องพระคาร์ดินัลและลำดับขั้นเป็นเรื่องของภาษาศาสตร์โดยสิ้นเชิง พระคาร์ดินัลและลำดับเป็นคำคุณศัพท์
อย่างไรก็ตาม การขยายแนวคิดไปสู่เซตในวิชาคณิตศาสตร์เผยให้เห็นมุมมองที่ลึกซึ้งและกว้างกว่ามาก และไม่สามารถปฏิบัติในแง่ง่ายๆ ได้ ในบทความนี้ เราจะพยายามทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของเลขคาร์ดินัลและเลขลำดับในวิชาคณิตศาสตร์
คำจำกัดความที่เป็นทางการของจำนวนคาร์ดินัลและเลขลำดับมีอยู่ในทฤษฎีเซต คำจำกัดความมีความสลับซับซ้อนและเพื่อให้เข้าใจความหมายที่สมบูรณ์นั้นจำเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานในทฤษฎีเซต ดังนั้น เราจะมาดูสองสามตัวอย่าง เพื่อทำความเข้าใจแนวคิดแบบฮิวริสติก
ลองพิจารณาทั้งสองชุด {1, 3, 6, 4, 5, 2} และ {รถบัส รถยนต์ เรือข้ามฟาก รถไฟ เครื่องบิน เฮลิคอปเตอร์} แต่ละชุดแสดงรายการชุดขององค์ประกอบ และหากเรานับจำนวนองค์ประกอบ จะเห็นได้ชัดว่าแต่ละชุดมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน ซึ่งก็คือ 6 เมื่อมาถึงข้อสรุปนี้ เราได้นำขนาดของชุดหนึ่งมาเปรียบเทียบกับชุดอื่นโดยใช้ ตัวเลข. ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าเลขคาร์ดินัล ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนนับคือตัวเลขที่เราสามารถใช้เปรียบเทียบขนาดของชุดจำกัด
สามารถจัดเรียงตัวเลขชุดแรกจากน้อยไปมากได้อีกครั้งโดยพิจารณาจากขนาดของแต่ละองค์ประกอบและเปรียบเทียบ ในขั้นตอนการสั่งซื้อตัวเลขถือเป็นคาร์ดินัล ในทำนองเดียวกัน เซตของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบทั้งหมดสามารถจัดลำดับในชุดได้ เช่น {0, 1, 2, 3, 4, ….} แต่ในกรณีนี้ ขนาดของเซตจะกลายเป็นอนันต์ และไม่สามารถกำหนดเป็นลำดับได้ ไม่ว่าคุณจะเลือกตัวเลขมากเพียงใดเพื่อให้ได้ขนาดของชุด ก็ยังจะมีตัวเลขเหลือจากชุดที่คุณเลือกและตัวเลขใดเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ
ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงนิยามพระคาร์ดินัลที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้ (ซึ่งเป็นครั้งแรก) เป็น Aleph-0 ซึ่งเขียนเป็น א (อักษรตัวแรกในภาษาฮีบรู) เลขลำดับอย่างเป็นทางการคือประเภทคำสั่งของชุดที่จัดเรียงอย่างดี ดังนั้น เลขลำดับของเซตจำกัดสามารถกำหนดได้ด้วยเลขคาร์ดินัล แต่สำหรับเซตอนันต์ ลำดับจะได้รับจากจำนวนข้ามจำกัด เช่น Aleph-0
ตัวเลขคาร์ดินัลและเลขลำดับต่างกันอย่างไร
• หมายเลขคาร์ดินัลคือตัวเลขที่ใช้นับหรือกำหนดขนาดของชุดคำสั่งแบบจำกัดจำนวน หมายเลขคาร์ดินัลทั้งหมดเป็นลำดับ
• เลขลำดับคือตัวเลขที่ใช้กำหนดขนาดของชุดลำดับทั้งแบบมีไฟและแบบอนันต์ ขนาดของเซตจำกัดถูกกำหนดโดยตัวเลขพีชคณิตฮินดู-อารบิกปกติ และขนาดเซตอนันต์จะได้รับด้วยจำนวนอนันต์