สี่เหลี่ยมด้านขนานกับสี่เหลี่ยมคางหมู
สี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมคางหมู (หรือสี่เหลี่ยมคางหมู) เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนสองรูป แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่เรขาคณิตของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นแตกต่างอย่างมากจากสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สี่เหลี่ยมด้านขนาน
สี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีสี่ด้านโดยให้ด้านตรงข้ามขนานกัน ที่แม่นยำกว่านั้นมันคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ ลักษณะคู่ขนานนี้ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณลักษณะทางเรขาคณิตมากมาย
รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหากพบลักษณะทางเรขาคณิตตามหลัง
• ฝ่ายตรงข้ามสองคู่มีความยาวเท่ากัน (AB=DC, AD=BC)
• มุมตรงข้ามสองคู่มีขนาดเท่ากัน ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• ถ้ามุมที่อยู่ติดกันเป็นส่วนเสริม [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• ด้านคู่ขนานกันซึ่งขนานกันและยาวเท่ากัน (AB=DC & AB∥DC)
• เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน (AO=OC, BO=OD)
• เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
นอกจากนี้ ผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านข้างจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมของเส้นทแยงมุม บางครั้งเรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมด้านขนานและมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในด้านฟิสิกส์และวิศวกรรม (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
แต่ละคุณสมบัติข้างต้นสามารถใช้เป็นคุณสมบัติได้ เมื่อกำหนดว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้โดยผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงไปทางด้านตรงข้าม ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถระบุเป็น
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน=ฐาน × สูง=AB×h
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานไม่ขึ้นกับรูปร่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละด้าน ขึ้นอยู่กับความยาวของฐานและความสูงตั้งฉากเท่านั้น
หากด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์สองตัว พื้นที่นั้นหาได้จากขนาดของผลคูณของเวกเตอร์ (ผลคูณไขว้) ของเวกเตอร์สองตัวที่อยู่ติดกัน
ถ้าด้าน AB และ AD แทนด้วยเวกเตอร์ ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) และ ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) ตามลำดับ พื้นที่ของ สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกกำหนดโดย [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex] โดยที่ α คือมุมระหว่าง [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] และ [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
ต่อไปนี้คือคุณสมบัติขั้นสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยเส้นทแยงมุมใดๆ
• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกหารครึ่งด้วยเส้นใดๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลาง
• การแปลงความคล้ายคลึงที่ไม่เสื่อมลงใด ๆ จะนำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานไปเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกอัน
• สี่เหลี่ยมด้านขนานมีความสมมาตรในการหมุนของลำดับ 2
• ผลรวมของระยะทางจากจุดภายในใดๆ ของสี่เหลี่ยมด้านขนานไปด้านข้างไม่ขึ้นกับตำแหน่งของจุดนั้น
สี่เหลี่ยมคางหมู
สี่เหลี่ยมคางหมู (หรือสี่เหลี่ยมคางหมูในภาษาอังกฤษแบบอังกฤษ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีด้านอย่างน้อยสองด้านขนานกันและมีความยาวไม่เท่ากัน ด้านขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าฐานและอีกสองด้านเรียกว่าขา
ต่อไปนี้คือลักษณะสำคัญของสี่เหลี่ยมคางหมู
• หากมุมที่อยู่ติดกันไม่อยู่บนฐานเดียวกันของสี่เหลี่ยมคางหมู พวกมันก็คือมุมเสริม นั่นคือรวมกันได้ 180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• ทั้งสองเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันในอัตราส่วนเดียวกัน (อัตราส่วนระหว่างส่วนของเส้นทแยงมุมเท่ากัน)
• ถ้า a และ b เป็นฐาน และ c เป็นขา d คือความยาวของเส้นทแยงมุม
[ลาเท็กซ์]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
และ
[ลาเท็กซ์]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู=[ลาเท็กซ์]\frac{a+b}{2}\ครั้ง h[/latex]
สี่เหลี่ยมด้านขนานกับสี่เหลี่ยมคางหมู (สี่เหลี่ยมคางหมู) แตกต่างกันอย่างไร
• ทั้งสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน
• ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามทั้งสองคู่ขนานกัน ในขณะที่ในสี่เหลี่ยมคางหมู มีเพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ขนานกัน
• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน (อัตราส่วน 1:1) ในขณะที่เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกับอัตราส่วนคงที่ระหว่างส่วนต่างๆ
• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานขึ้นอยู่กับความสูงและฐาน ในขณะที่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูขึ้นอยู่กับความสูงและส่วนตรงกลาง
• สามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากันเสมอ ในขณะที่สามเหลี่ยมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากันหรือไม่