พิเศษร่วมกันกับกิจกรรมอิสระ
ผู้คนมักสับสนแนวคิดของกิจกรรมที่ไม่เกิดร่วมกันกับกิจกรรมอิสระ อันที่จริงนี่เป็นสองสิ่งที่แตกต่างกัน
ให้ A และ B เป็นสองเหตุการณ์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการทดลองแบบสุ่ม E P(A) เรียกว่า “ความน่าจะเป็นของ A” ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของ B เป็น P(B) ความน่าจะเป็นของ A หรือ B เป็น P(A∪B) และความน่าจะเป็นของ A และ B เป็น P(A∩B) จากนั้น P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
อย่างไรก็ตาม สองเหตุการณ์กล่าวว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน หากเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลกระทบต่ออีกกิจกรรม กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ดังนั้น ถ้าสองเหตุการณ์ A และ B ไม่เกิดร่วมกัน A∩B=∅ และด้วยเหตุนี้ แสดงว่า P(A∪B)=P(A)+ P(B).
ให้ A และ B เป็นสองเหตุการณ์ในพื้นที่ตัวอย่าง S ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ A เมื่อเกิด B ขึ้น จะแสดงด้วย P(A | B) และถูกกำหนดเป็น; P(A | B)=P(A∩B)/P(B) ระบุ P(B)>0 (มิฉะนั้นจะไม่มีการกำหนด)
เหตุการณ์ A เรียกว่าไม่ขึ้นกับเหตุการณ์ B หากความน่าจะเป็นที่ A เกิดขึ้นนั้นไม่ได้รับอิทธิพลจากการที่ B เกิดขึ้นหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลของเหตุการณ์ B ไม่มีผลต่อผลของเหตุการณ์ A ดังนั้น P(A | B)=P(A) ในทำนองเดียวกัน B ไม่ขึ้นกับ A ถ้า P(B)=P(B | A) ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์อิสระ ดังนั้น P(A∩B)=P(A). P(B)
สมมุติว่าม้วนเลขลูกบาศก์แล้วพลิกเหรียญที่เที่ยงตรง ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ได้หัว และ B เป็นเหตุการณ์ที่ทอยเลขคู่ จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าเหตุการณ์ A และ B มีความเป็นอิสระ เนื่องจากผลลัพธ์ของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ดังนั้น P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4 เนื่องจาก P(A∩B)≠0, A และ B ไม่สามารถแยกจากกันได้
สมมุติว่าโกศมีหินอ่อนสีขาว 7 ลูกและลูกหินสีดำ 8 ลูก กำหนดเหตุการณ์ A เป็นการวาดหินอ่อนสีขาว และเหตุการณ์ B เป็นการวาดหินอ่อนสีดำ สมมติว่าหินอ่อนแต่ละลูกจะถูกแทนที่หลังจากสังเกตสีของมัน จากนั้น P(A) และ P(B) จะเหมือนกันเสมอ ไม่ว่าเราจะดึงออกจากโกศกี่ครั้งก็ตาม การเปลี่ยนลูกหินหมายความว่าความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนจากการเสมอกันเป็นการวาด ไม่ว่าเราจะเลือกสีอะไรในการจับรางวัลที่แล้ว ดังนั้นเหตุการณ์ A และ B จึงไม่เกี่ยวข้องกัน
อย่างไรก็ตาม ถ้าลูกหินถูกวาดโดยไม่มีการทดแทน ทุกอย่างก็เปลี่ยนไป ภายใต้สมมติฐานนี้ เหตุการณ์ A และ B จะไม่เป็นอิสระ การวาดหินอ่อนสีขาวในครั้งแรกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นในการวาดหินอ่อนสีดำในการวาดครั้งที่สองเป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง การออกรางวัลแต่ละครั้งมีผลต่อการออกรางวัลครั้งต่อไป ดังนั้นการออกรางวัลแต่ละครั้งจะไม่เป็นอิสระจากกัน
ความแตกต่างระหว่างกิจกรรมพิเศษร่วมกันและเหตุการณ์อิสระ
– การผูกขาดร่วมกันของเหตุการณ์หมายความว่าไม่มีการทับซ้อนกันระหว่างชุด A และ B ความเป็นอิสระของเหตุการณ์หมายถึงการเกิดของ A ไม่ส่งผลต่อการเกิดของ B
– หากสองเหตุการณ์ A และ B ไม่เกิดร่วมกัน P(A∩B)=0.
– หากสองเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกัน P(A∩B)=P(A). P(B)