ฟังก์ชั่นแยก vs ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง
ฟังก์ชันเป็นหนึ่งในคลาสที่สำคัญที่สุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในเกือบทุกสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ ตามชื่อที่แนะนำทั้งฟังก์ชันแยกและฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันพิเศษสองประเภท
A ฟังก์ชั่นคือความสัมพันธ์ระหว่างสองชุดที่กำหนดไว้ในลักษณะที่สำหรับแต่ละองค์ประกอบในชุดแรก ค่าที่สอดคล้องกับชุดที่สองจะไม่ซ้ำกัน ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดจากเซต A เป็นเซต B จากนั้นสำหรับแต่ละ x ϵ A สัญลักษณ์ f (x) หมายถึงค่าที่ไม่ซ้ำกันในชุด B ที่สอดคล้องกับ xมันถูกเรียกว่าภาพของ x ภายใต้ f. ดังนั้น ความสัมพันธ์ f จาก A ไป B จึงเป็นฟังก์ชัน หากแต่ละ xϵ A และ y ϵ A เป็นฟังก์ชัน ถ้า x=y แล้ว f (x)=f (y) เซต A เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน f และเป็นเซตที่กำหนดฟังก์ชัน
ตัวอย่างเช่น พิจารณาความสัมพันธ์ f จาก R เป็น R ที่กำหนดโดย f (x)=x + 2 สำหรับแต่ละ xϵ A นี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น R สำหรับจำนวนจริง x และ y แต่ละตัว x=y หมายถึง f (x)=x + 2=y + 2=f (y) แต่ความสัมพันธ์ g จาก N ถึง N ที่กำหนดโดย g (x)=a โดยที่ 'a' เป็นปัจจัยเฉพาะของ x ไม่ใช่ฟังก์ชันเช่น g (6)=3 และ g (6)=2.
ฟังก์ชั่นแยกคืออะไร
ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องคือฟังก์ชันที่มีโดเมนนับได้มากที่สุด พูดง่ายๆ ก็คือ คุณสามารถสร้างรายการที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของโดเมนได้
เซตจำกัดใด ๆ นับได้มากที่สุด เซตของจำนวนธรรมชาติและเซตของจำนวนตรรกยะเป็นตัวอย่างสำหรับเซตอนันต์ที่นับได้มากที่สุดเซตของจำนวนจริงและเซตของจำนวนอตรรกยะนั้นไม่สามารถนับได้มากที่สุด ทั้งสองชุดนับไม่ได้ หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรายการที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของชุดเหล่านั้น
หนึ่งในฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องกันมากที่สุดคือฟังก์ชันแฟกทอเรียล f:N U{0}→N กำหนดแบบเรียกซ้ำโดย f (n)=n f (n-1) สำหรับแต่ละ n ≥ 1 และ f (0)=1 เรียกว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียล สังเกตว่าโดเมน N U{0} นั้นนับได้มากที่สุด
ฟังก์ชั่นต่อเนื่องคืออะไร
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่สำหรับแต่ละ k ในโดเมนของ f, f (x)→ f (k) เป็น x → k แล้ว f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะทำให้ f (x) ใกล้เคียงกับ f (k) โดยพลการ โดยทำให้ x ใกล้กับ k เพียงพอสำหรับ k แต่ละตัวในโดเมนของ f
พิจารณาฟังก์ชัน f (x)=x + 2 บน R จะเห็นว่าเป็น x → k, x + 2 → k + 2 นั่นคือ f (x)→ f (k) ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ทีนี้ ให้พิจารณา g ของจำนวนจริงบวก g (x)=1 ถ้า x > 0 และ g (x)=0 ถ้า x=0จากนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากไม่มีขีดจำกัดของ g (x) (และด้วยเหตุนี้จึงไม่เท่ากับ g (0)) เป็น x → 0.
ฟังก์ชั่นแยกและต่อเนื่องต่างกันอย่างไร
• ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องคือฟังก์ชันที่โดเมนนับได้มากที่สุด แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีในฟังก์ชันต่อเนื่อง
• ฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด ƒ มีคุณสมบัติที่ ƒ(x)→ƒ(k) เป็น x → k สำหรับแต่ละ x และสำหรับ k แต่ละตัวในโดเมนของ ƒ แต่ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องบางฟังก์ชันไม่ได้เป็นเช่นนั้น.