ความแตกต่างที่สำคัญ – สมมุติฐานกับทฤษฎีบท
สมมุติฐานและทฤษฎีบทเป็นคำศัพท์ทั่วไปสองคำที่มักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ สมมุติฐานคือข้อความที่ถือว่าเป็นความจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทคือคำแถลงที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง นี่คือข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสัจพจน์และทฤษฎีบท ทฤษฎีบทมักขึ้นอยู่กับสมมุติฐาน
สมมุติฐานคืออะไร
สมมุติฐานคือข้อความที่ถือว่าเป็นความจริงโดยไม่มีข้อพิสูจน์ใดๆ สมมุติฐานถูกกำหนดโดยพจนานุกรม Oxford ว่า "สิ่งที่แนะนำหรือถือว่าเป็นจริงเป็นพื้นฐานสำหรับการให้เหตุผล การอภิปราย หรือความเชื่อ" และโดยพจนานุกรม American Heritage เป็น "สิ่งที่สันนิษฐานโดยไม่มีหลักฐานว่ามีความชัดเจนในตัวเองหรือเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้ เพื่อเป็นพื้นฐานในการโต้แย้ง”
สมมุติฐานเรียกอีกอย่างว่าสัจพจน์ สมมุติฐานไม่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์เนื่องจากถูกต้องอย่างเห็นได้ชัด ตัวอย่างเช่น คำสั่งที่จุดสองจุดสร้างเส้นเป็นสมมุติฐาน สมมุติฐานเป็นพื้นฐานในการสร้างทฤษฎีบทและบทแทรก ทฤษฎีบทสามารถได้มาจากสมมุติฐานตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป
ให้ไว้ด้านล่างเป็นลักษณะพื้นฐานบางอย่างที่สมมุติฐานทั้งหมดมี:
- สมมุติฐานควรเข้าใจง่าย – ไม่ควรมีคำที่เข้าใจยากมากมาย
- มันควรจะสอดคล้องกันเมื่อรวมกับสมมุติฐานอื่นๆ
- พวกมันควรจะมีอิสระในการใช้งาน
อย่างไรก็ตาม สมมุติฐานบางอย่าง เช่น สมมุติฐานของไอน์สไตน์ว่าจักรวาลเป็นเนื้อเดียวกัน อาจไม่ถูกต้องเสมอไป สมมุติฐานอาจไม่ถูกต้องอย่างเห็นได้ชัดหลังจากค้นพบใหม่
ถ้าผลรวมของมุมภายใน α และ β น้อยกว่า 180° เส้นตรงสองเส้นที่เกิดอย่างไม่มีกำหนดจะบรรจบกันที่ด้านนั้น
ทฤษฎีบทคืออะไร
ทฤษฎีบทคือคำกล่าวที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นความจริง พจนานุกรมออกซ์ฟอร์ดกำหนดทฤษฎีบทเป็น ข้อเสนอทั่วไปไม่ปรากฏชัดในตัวเอง แต่ได้รับการพิสูจน์โดยสายการให้เหตุผล ความจริงที่สร้างขึ้นโดยใช้ความจริงที่เป็นที่ยอมรับ” และ Merriam-Webster ให้คำจำกัดความว่าเป็น “สูตร ข้อเสนอ หรือข้อความในวิชาคณิตศาสตร์หรือตรรกะที่อนุมานหรืออนุมานจากสูตรหรือข้อเสนออื่นๆ”
ทฤษฎีบทพิสูจน์ได้ด้วยการให้เหตุผลเชิงตรรกะหรือโดยใช้ทฤษฎีบทอื่นๆ ที่พิสูจน์แล้วว่าจริงแล้ว ทฤษฎีบทที่ต้องพิสูจน์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นเรียกว่าบทแทรกทั้งบทแทรกและทฤษฎีบทมีพื้นฐานอยู่บนสมมุติฐาน ทฤษฎีบทมักมีสองส่วนที่เรียกว่าสมมติฐานและข้อสรุป ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทสี่สี และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ คือตัวอย่างบางส่วนของทฤษฎีบท
การสร้างภาพทฤษฎีบทพีทาโกรัส
สมมุติฐานและทฤษฎีบทต่างกันอย่างไร
คำจำกัดความ:
Posulate: สมมุติฐานถูกกำหนดให้เป็น “คำสั่งที่ยอมรับว่าเป็นจริงเป็นพื้นฐานสำหรับการโต้แย้งหรือการอนุมาน”
Theorem: Theorem ถูกกำหนดให้เป็น เรื่องทั่วไปที่ไม่ปรากฏชัดในตัวเอง แต่ได้รับการพิสูจน์โดยห่วงโซ่แห่งการให้เหตุผล ความจริงที่สร้างขึ้นด้วยความจริงที่เป็นที่ยอมรับ”
หลักฐาน:
สมมุติฐาน: สมมุติฐานคือข้อความที่ถือว่าเป็นความจริงโดยไม่มีหลักฐานใดๆ
ทฤษฎีบท: ทฤษฎีบทคือคำกล่าวที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง
ความสัมพันธ์:
สมมุติฐาน: สมมุติฐานเป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีบทและบทแทรก
ทฤษฎีบท: ทฤษฎีบทอยู่บนพื้นฐานของสมมุติฐาน
ต้องพิสูจน์:
สมมุติฐาน: สมมุติฐานไม่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ เพราะมันแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน
ทฤษฎีบท: ทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการให้เหตุผลเชิงตรรกะหรือโดยใช้ทฤษฎีบทอื่นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจริง