ความแตกต่างระหว่างลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิต

2024 ผู้เขียน: Alex Aldridge | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-17 23:48

ลำดับเลขคณิตเทียบกับลำดับเรขาคณิต

การศึกษารูปแบบตัวเลขและพฤติกรรมเป็นการศึกษาที่สำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งรูปแบบเหล่านี้สามารถเห็นได้ในธรรมชาติและช่วยให้เราอธิบายพฤติกรรมของพวกมันในมุมมองทางวิทยาศาสตร์ ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิตเป็นรูปแบบพื้นฐานสองรูปแบบที่เกิดขึ้นเป็นตัวเลข และมักพบในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ

ลำดับคือชุดของตัวเลขที่สั่ง จำนวนองค์ประกอบในลำดับอาจเป็นแบบจำกัดหรืออนันต์

เพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต (ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์)

ลำดับเลขคณิตถูกกำหนดให้เป็นลำดับของตัวเลขที่มีความแตกต่างคงที่ระหว่างแต่ละเทอมที่ต่อเนื่องกัน มันยังเป็นที่รู้จักกันในนามความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลำดับเลขคณิต ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; โดยที่ a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d และอื่นๆ}

ถ้าเทอมเริ่มต้นคือ a₁ และความแตกต่างทั่วไปคือ d แล้ว n^{th เทอมของลำดับจะได้รับโดย;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

โดยการนำผลลัพธ์ข้างต้นไปเพิ่มเติม สามารถกำหนด n^{th ได้เป็น;}

a_n =a_m + (n-m)d โดยที่ a_{m เป็นคำสุ่ม ในลำดับดังกล่าว n > m.}

เซตของเลขคู่และเซตของเลขคี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของลำดับเลขคณิต โดยที่แต่ละลำดับมีความแตกต่างร่วมกัน (d) เท่ากับ 2.

จำนวนพจน์ในลำดับอาจเป็นอนันต์หรือจำกัดก็ได้ในกรณีที่ไม่มีที่สิ้นสุด (n → ∞) ลำดับมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดขึ้นอยู่กับความแตกต่างทั่วไป (a_{n → ±∞) หากความแตกต่างทั่วไปเป็นค่าบวก (d > 0) ลำดับมีแนวโน้มเป็นอินฟินิตี้บวก และหากความแตกต่างทั่วไปเป็นค่าลบ (d < 0) ลำดับจะมีแนวโน้มเป็นค่าอนันต์เชิงลบ ถ้าเงื่อนไขมีจำกัด ลำดับก็จำกัดด้วย}

ผลรวมของเทอมในลำดับเลขคณิตเรียกว่าอนุกรมเลขคณิต: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{และ S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] ให้ค่าของ ซีรีส์ (S}n)

เพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต (ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)

ลำดับเรขาคณิตถูกกำหนดเป็นลำดับที่ผลหารของสองเทอมที่ต่อเนื่องกันเป็นค่าคงที่ สิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับทางเรขาคณิต ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; โดยที่ a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r และอื่นๆ โดยที่ r เป็นจำนวนจริง}

แสดงลำดับเรขาคณิตได้ง่ายขึ้นโดยใช้อัตราส่วนร่วม (r) และพจน์เริ่มต้น (a) ดังนั้นลำดับเรขาคณิต ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

รูปแบบทั่วไปของ n^th เงื่อนไขที่กำหนดโดย a_n =a₁r ^n-1. (สูญเสียตัวห้อยของเทอมเริ่มต้น ⇒ a_n =ar^n-1)

ลำดับเรขาคณิตสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ถ้าจำนวนพจน์มีจำกัด ลำดับจะเรียกว่ามีจำกัด และถ้าเงื่อนไขเป็นอนันต์ ลำดับอาจเป็นอนันต์หรือไม่จำกัดก็ได้ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน r อัตราส่วนร่วมมีผลต่อคุณสมบัติหลายอย่างในลำดับเรขาคณิต

r > o	0 < r < +1	ลำดับมาบรรจบกัน – การสลายตัวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล เช่น an → 0, n → ∞
	r=1	ลำดับคงที่ เช่น an=คงที่
	r > 1	ลำดับแตกต่าง – การเติบโตแบบทวีคูณ เช่น an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	ซีเควนซ์กำลังสั่น แต่มาบรรจบกัน
	r=1	ลำดับจะสลับกันและคงที่ เช่น an=±constant
	r < -1	ซีเควนซ์สลับกันไปมา เช่น an → ±∞, n → ∞
r=0	ลำดับเป็นสตริงของศูนย์

N. B: ในทุกกรณีข้างต้น a₁ > 0; ถ้า a₁ < 0 เครื่องหมายที่เกี่ยวข้องกับ a_{n จะถูกกลับด้าน}

ช่วงเวลาระหว่างการตีกลับของลูกบอลเป็นไปตามลำดับเรขาคณิตในแบบจำลองในอุดมคติ และเป็นลำดับการบรรจบกัน

ผลรวมของเงื่อนไขของลำดับเรขาคณิตเรียกว่าอนุกรมเรขาคณิต S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arn^=∑i=1→n _ari^{. ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); โดยที่ a คือพจน์เริ่มต้นและ r คืออัตราส่วน}

ถ้าอัตราส่วน r ≤ 1 อนุกรมมาบรรจบกัน สำหรับอนุกรมอนันต์ ค่าของการบรรจบกันถูกกำหนดโดย S_n=a/(1-r)

ความแตกต่างระหว่างลำดับ/ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตคืออะไร

• ในลำดับเลขคณิต คำศัพท์สองคำที่ต่อเนื่องกันจะมีผลต่างร่วมกัน (d) ในขณะที่ในลำดับเรขาคณิต คำศัพท์สองคำที่ต่อเนื่องกันมีค่าเชาวน์ค่าคงที่ (r)

• ในลำดับเลขคณิต ความแปรผันของเงื่อนไขเป็นแบบเส้นตรง กล่าวคือ เส้นตรงสามารถลากผ่านจุดทั้งหมดได้ ในอนุกรมเรขาคณิต ความแปรผันเป็นเลขชี้กำลัง จะเติบโตหรือทรุดโทรมตามอัตราส่วนทั่วไป

• ลำดับเลขคณิตอนันต์ทั้งหมดมีความแตกต่างกัน ในขณะที่อนุกรมเรขาคณิตอนันต์สามารถเป็นไดเวอร์เจนต์หรือคอนเวอร์เจนต์ได้

• อนุกรมเรขาคณิตสามารถแสดงการแกว่งได้หากอัตราส่วน r เป็นลบ ในขณะที่อนุกรมเลขคณิตไม่แสดงการสั่น